Enunciado

Em cada um dos problemas de 14 a 20, encontre os autovalores e autofunções do problema de valores de contorno dado. Suponha que todos os autovalores são reais.

y ' ' + λ y = 0                     ; y ' 0 = 0 ; y ' π = 0

Passo 1

A equação característica, se tivermos uma EDO do tipo:

y ' ' + μ 2 y = 0

O objetivo é encontrar os autovalores e autofunções do problema de valor limite dado, temos o seguinte autovalor:

y ' ' + λ y = 0

Nesse caso λ = μ 2 .

Com as condições de contorno y ' 0 = 0   e   y ' π = 0 .

Entretanto, nós desconhecemos λ e não sabemos se o valor é maior ou menor que zero.

Passo 2

Vamos analisar o primeiro cenário, quando consideramos que λ < 0 . Então, nesse caso λ = - μ 2 , então a equação passa a ser:

y ' ' - μ 2 y = 0

Corresponde a eiqação característica :

r 2 - μ 2 = 0

Nesse caso, as raízes da equação serão:

r = ± μ

E a solução geral será : y x = c 1 e μ x + c 2 e - μ x

y ' x = μ c 1 e μ x - μ c 2 e - μ x

Aplicando a primeira condição:

y ' 0 = μ c 1 e μ ( 0 ) - μ c 2 e - μ ( 0 )

μ c 1 - μ c 2 = 0

μ ( c 1 - c 2 ) = 0

Como não temos μ = 0 , c 1 = c 2 .

Se:

y ' π = 0

y ' π = μ c 1 e μ π - μ c 1 e - μ π

μ c 1 ( e μ π - e - μ π ) = 0

Aqui, nós temos μ ≠ 0 e e μ π - e - μ π ≠ 0 , também! Logo, c 1 = 0 .

Se:

c 1 = 0

Quando usamos as condições de contorno, obtemos:

c 1 = c 2 = 0

Portanto, a solução geral é y   =   0 e, portanto, vemos que existem autovalores menores que zero.

Passo 3

O próximo passo, nós consideramos que λ = 0 , e a solução geral será: y x = c 1 x + c 2

y ' = c 1 x

Aplicando na primeira condição y ' 0 = 0 :

y ' = c 1 x = 0

c 1 = 0

Então:

y x = c 2

Dessa forma λ será um autovalor de c > 0 .

Passo 4

Vamos analisar o primeiro cenário, quando consideramos que λ > 0 . Então, nesse caso λ = μ 2 , então a equação passa a ser:

y ' ' + μ 2 y = 0

Corresponde a equação característica.

E a solução geral será : y x = c 1 cos ⁡ μ x + c 2 sen ⁡ μ x  

y ' x = - μ c 1 sen ⁡ μ x + μ c 2 cos ⁡ μ x

Quando usamos a primeira condição dada y ' 0 = 0 , nós temos:

y ' 0 = - μ c 1 sen ⁡ 0 + μ c 2 cos ⁡ 0 = 0

μ c 2 = 0

c 2 = 0

Agora, aplicamos a segunda condição y ' π = 0 .

A derivada da equação será:

y ' x = - μ c 1 sen ⁡ μ x + μ c 2 cos ⁡ μ x

y ' π = - μ c 1 sen ⁡ μ π = 0

A função seno zera ( sen ⁡ μ π ) para qualquer valor e π .

Então, nossa função será:

y x = c 1 cos ⁡ μ x

Para qualquer valor μ = n e qualquer c 1 ≠ 0 .

λ p = u 2 = n 2

Logo:

y n = cos ⁡ n x

Resposta

λ p = n 2

y n = cos ⁡ n x

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