Enunciado

Em cada um dos problemas de 14 a 20, encontre os autovalores e autofunções do problema de valores de contorno dado. Suponha que todos os autovalores são reais.

y ' ' + λ y = 0                     ; y ' 0 = 0 ; y ' L = 0

Passo 1

Para encontrar os valores próprios e as funções próprias do problema de valor limite fornecido

Suponha que todos os autovalores sejam reais.

Deixe a equação de características padrão para y ' ' + λ y = 0 .

r 2 + λ = 0

r = ± i λ

Agora resolvendo a equação para λ >   0 , então λ = μ 2 . Portanto, a solução geral para essa condição será:

y x = c 1 cos ⁡ λ x + c 2 sen ⁡ λ x

Diferenciando, temos:

y ' x = - λ c 1 sen ⁡ λ x + λ c 2 cos ⁡ λ x

Agora, aplicando a primeira condição de contorno, teremos y ' 0 = 0 . Então:

y ' 0 = λ c 2 cos ⁡ 0 = 0

c 2 = 0

A próxima condição será quando y ' L = 0 , então:

y ' L = - λ c 1 sen ⁡ λ L = 0

sen ⁡ λ = 0

λ n = n π L 2

y n = cos ⁡ n π L

Resposta

λ n = n π L 2

y n = cos ⁡ n π L x

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