Enunciado

Seja f ( x )   =   x para   0   <   x   <   1 e seja

(a) Encontre os coeficientes b m na expansão de f ( x ) em termos de ϕ 1 x ,   ϕ 2 x , 1 4 .

(b) Calcule o erro médio quadrático R n para diversos valores de n e faça um gráfico dos

resultados.

(c) Encontre o menor valor de n para o qual R n   <   0,01 .

Passo 1

Utilizando f x = x para ϕ m a 1 , x = 2 s e n   m π x

a)

b m = 2 ∫ 0 1 x s e n   m π x   d x

E este é nosso coeficiente, aplicando a integral, por método por partes, temos:

s e n x d x = d v

∫ s e n   x = ∫ d v

- cos ⁡ x = v

E

u = x

d u = d x

Substituindo:

∫ x ∙ s e n x = x - cos ⁡ x - ∫ - cos ⁡ x d x

= - x c o s x + ∫ cos ⁡ x d x

= - x c o s x + s e n x

Retomando as constantes e aplicando o intervalo de integração, ficamos:

b m = 2 - 1 m π m π

Aplicando a soma parcial temos:

S n x = 2 ∑ m = 1 n b m   s e n   m π x

S n x = 2 ∑ m = 1 n - 1 m π m π   s e n   m π x

Passo 2

b) bem vamos ao calculo sequencial, utilizando Excel, temos:

Calculando de n = 1,2 , 3,4 , 5 e após isto passos de 5 a 5 até 25.

E para isto teremos os seguintes R n :

Agora desenhando o gráfico dos valores temos,

R n   v s   n

Passo 3

c)Utilizando a tabela que acabamos de calcular, é fácil de identificar o menor valor de R n que corresponde para n = 20 , com R n = 0,00988304 .

Resposta

a)

b m = 2 - 1 m π m π

c)   n = 20 , para R n = 0,00988304 .

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