Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 13, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução.

y ' ' + y = 0                                         y ( 0 ) = 0 ; y L = 0

Passo 1

O primeiro passo para resolver os problemas de valores de contorno, precisamos encontrar a equação característica, se tivermos uma EDO do tipo:

y ' ' + μ 2 y = 0

A equação polinomial característica pode ser dada por:

r 2 + μ 2 = 0

As raízes de r serão:

r = ± i

E a solução geral será dada por:

y = c 1 cos ⁡ μ x + c 2 sen ⁡ μ x

Passo 2

Aplicando com os valores fornecidos pelo problema, temos que:

y ' ' + y = 0

Vamos encontrar a equação característica se μ = 1 :

r 2 + 1 = 0

r 2 = - 1

r = ± i

A solução geral pode ser dada por:

y = c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x

Aplicando o primeiro termo inicial, temos que y 0 = 0 :

y 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 = 0

c 1 cos ⁡ 0 = 0

Para isso:

c 1 = 0

Aplicando a outra condição dada:

y L = 0

y L = 0 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ L = 0

c 2 sen ⁡ L = 0

Sabemos que sen ⁡ π = 0 , então sen ⁡ k π = 0 , então L = k π

Resposta

y = 0 para todo L se sen ⁡ L = 0 .

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