Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 14:

(a) Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x 0 ; encontre a relação de recorrência.

(b) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y 1 e y 2 (a menos que a série termine antes).

(c) Calculando o wronskiano W ( y 1 ,   y 2 ) ( x 0 ) , mostre que y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções.

(d) Se possível, encontre o termo geral em cada solução.

2.

y ' ' - x y ' - y = 0                                           x 0 = 0

Passo 1

(a) Fala galera!!

Nos foi dado a seguinte equação diferencial:

y ' ' - x y ' - y = 0

Queremos encontrar uma solução em forma de série de potências em torno de x 0 = 0 , e encontrar a relação de recorrência.

Uma equação diferencial pode ser escrita da seguinte maneira:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Se analisarmos a equação dada, podemos perceber que:

P x = 1

Q x = - x

R x = - 1

logo, todo ponto é um ponto ordinário.

Passo 2

Vamos supor que y seja a seguinte série de potencia

y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … + a n x n + … = ∑ n = 0 ∞ a n x n

e vamos supor que a série converge em algum intervalo | x | < ρ . Também podemos diferenciar a equação acima. Assim, pelo que vimos na revisão de série, obtemos:

y ' = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + … + n a n x n - 1 + … = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

Diferenciando mais uma vez, temos:

y ' ' = 2 a 2 + 6 a 3 x + … + n n - 1 a n x n - 2 + … = ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2

Passo 3

Agora, vamos substituir os resultados encontrados ( y ' ' ,   y '   e   y ) na equação diferencial fornecida, assim temos:

y ' ' - x y ' - y = 0

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 - x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Para combinar as três séries, precisamos reescrever pelo menos uma delas de modo que ambas tenham o mesmo termo geral. Assim, mudamos o índice do somatório na primeira série substituindo n por n + 2 e começando a soma em 0 em vez de 2 . Assim temos:

∑ n + 2 = 2 ∞ n + 2 n + 2 - 1 a n + 2 x n + 2 - 2 - x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n - x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Para a segunda série, podemos expandir o somatório da seguinte maneira:

x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = x a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + … + n a n x n - 1 + …

x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = a 1 x + 2 a 2 x 2 + 3 a 3 x 3 + … + n a n x n + …

Podemos dizer seguinte:

x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = 0 a 0 x 0 + 1 a 1 x 1 + 2 a 2 x 2 + 3 a 3 x 3 + … + n a n x n + …

x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = ∑ n = 0 ∞ n a n x n

Voltando com o resultado para a equação diferencial, temos:

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n - ∑ n = 0 ∞ n a n x n - ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Agora podemos unir os somatórios.

∑ n = 0 ∞ [ n + 2 n + 1 a n + 2 - n a n - a n ] x n = 0

Passo 4

Para que a equação acima seja satisfeita para todo x , é preciso que o coeficiente de cada potência de x seja nulo. Logo, podemos concluir que:

n + 2 n + 1 a n + 2 - n a n - a n = 0                         n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

Escrevendo de uma maneira melhor, temos que a relação de recorrência se torna:

a n + 2 = a n n + 1 n + 2 n + 1                                 n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

a n + 2 = a n n + 2                                 n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

Passo 5

A equação acima é conhecida como uma relação de recorrência. Os coeficientes sucessivos podem ser calculados um a um escrevendo-se a relação de recorrência, primeiro para n = 0 , depois para n = 1 , e assim por diante. Fazendo isso, temos:

Para n = 0

a 2 = a 0 0 + 2 = a 0 2

Para n = 1

a 3 = a 1 1 + 2 = a 1 3

Para n = 2

a 4 = a 2 2 + 2 = a 2 4 = a 0 2 ⋅ 1 4 = a 0 2 ⋅ 4

Para n = 3

a 5 = a 3 3 + 2 = a 3 5 = a 1 3 ⋅ 1 5 = a 1 3 ⋅ 5

Para n = 4

a 6 = a 4 4 + 2 = a 4 6 = a 0 2 ⋅ 4 ⋅ 1 6 = a 0 2 ⋅ 4 ⋅ 6

Para n = 5

a 7 = a 5 5 + 2 = a 5 7 = a 1 3 ⋅ 5 ⋅ 1 7 = a 1 3 ⋅ 5 ⋅ 7

Para essa questão, a equação acima relaciona cada coeficiente com o que está dois antes dele. Assim, os coeficientes com índices pares ( a 0 ,   a 2 ,   a 4 , … ) e os com índices ímpares ( a 1 ,   a 3 ,   a 5 , … ) são determinados separadamente.

Esses resultados sugerem que, em geral, se n + 2 = 2 k , então:

a 2 k = a 0 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 k                       k = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

e, em geral, se n + 2 = ( 2 k + 1 ) , então:

a 2 k + 1 = a 1 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ 2 k + 1                         k = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

Passo 6

Agora, vamos substituir os coeficientes encontrados acima em y . A série de potencia que foi sugerida como sendo solução da equação diferencial.

y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … + a n x n

y = a 0 + a 1 x + a 0 2 x 2 + a 1 3 x 3 + a 0 2 ⋅ 4 x 4 + a 1 3 ⋅ 5 x 5 + a 0 2 ⋅ 4 ⋅ 6 x 6 + a 1 3 ⋅ 5 ⋅ 7 x 7 + … + a 0 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 n x 2 n + a 1 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ 2 n + 1 x 2 n + 1 + …

y = a 0 1 + x 2 2 + x 4 2 ⋅ 4 + x 6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 + … + x 2 n 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 n + … + a 1 x 1 + x 3 3 + x 5 3 ⋅ 5 + x 7 3 ⋅ 5 ⋅ 7 + … + x 2 n + 1 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ 2 n + 1 + …

Temos então que a solução da equação diferencial sobre o ponto  x 0 = 0 é

y 1 x = a 0 1 + x 2 2 + x 4 2 ⋅ 4 + x 6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 + … + x 2 n 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 n + …

y 2 x = a 1 x 1 + x 3 3 + x 5 3 ⋅ 5 + x 7 3 ⋅ 5 ⋅ 7 + … + x 2 n + 1 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ 2 n + 1 + …

Passo 7

(b) Queremos encontrar os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções. Para isso basta substituir n = 0 ,   1 ,   2   e   3 em y 1 x e y 2 x .

Para a solução y 1 x , temos:

y 1 x = 1 + x 2 2 + x 4 2 ⋅ 4 + x 6 2 ⋅ 4 ⋅ 6

Para a solução y 2 x , temos:

y 2 x = x 1 + x 3 3 + x 5 3 ⋅ 5 + x 7 3 ⋅ 5 ⋅ 7

Passo 8

(c) Agora, vamos calcular o wronskiano W ( y 1 ,   y 2 ) ( x 0 ) , afim de mostrar que y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções. Lembre-se de que o Wronskiano das duas funções y 1 x e y 2 x é,

W y 1 x , y 2 x ( x 0 ) = y 1 x 0 y 2 x 0 y 1 ' x 0 y 2 ' x 0

Temos que:

y 1 x = 1 + x 2 2 + x 4 2 ⋅ 4 + x 6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 + … + x 2 n 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 n + …

E sua derivada se torna:

y 1 ' x = 2 x 2 + 4 x 3 2 ⋅ 4 + 6 x 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 + … + 2 n x 2 n - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 n + …

No ponto x 0 = 0 , as condições podem ser tomadas como:

y 1 0 = 1 + 0 2 2 + 0 4 2 ⋅ 4 + 0 6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 + … + 0 2 n 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 n + … = 1

y 1 ' 0 = 2 0 2 + 4 0 3 2 ⋅ 4 + 6 0 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 + … + 2 n 0 2 n - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 n + … = 0

Temos também que:

y 2 x = x 1 + x 3 3 + x 5 3 ⋅ 5 + x 7 3 ⋅ 5 ⋅ 7 + … + x 2 n + 1 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ 2 n + 1 + …

E sua derivada se torna:

y 2 ' x = 1 1 + 3 x 2 3 + 5 x 4 3 ⋅ 5 + 7 x 6 3 ⋅ 5 ⋅ 7 + … + 2 n + 1 x 2 n 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ 2 n + 1 + …

No ponto x 0 = 0 , as condições podem ser tomadas como:

y 2 0 = 0 1 + 0 3 3 + 0 5 3 ⋅ 5 + 0 7 3 ⋅ 5 ⋅ 7 + … + 0 2 n + 1 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ 2 n + 1 + … = 0

y 2 ' 0 = 1 1 + 3 0 2 3 + 5 0 4 3 ⋅ 5 + 7 0 6 3 ⋅ 5 ⋅ 7 + … + 2 n + 1 0 2 n 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ 2 n + 1 + … = 1

Substituindo as funções temos:

W y 1 x , y 2 x x 0 = 1 0 0 1 = 1

Então

W y 1 x , y 2 x x 0 = 1

Como o Wronskiano é diferente de zero, as soluções  y 1 x e y 2 x são linearmente independentes. Portanto,  y 1 x e y 2 x formam um conjunto fundamental de soluções.

Passo 9

(d) Queremos encontrar o termo geral em cada solução. Temos que as duas soluções da equação diferencial são:

y 1 x = 1 + x 2 2 + x 4 2 ⋅ 4 + x 6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 + … + x 2 n 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 n + …

y 2 x = x + x 3 3 + x 5 3 ⋅ 5 + x 7 3 ⋅ 5 ⋅ 7 + … + x 2 n + 1 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ 2 n + 1 + …

Passo 10

Vamos agora encontre o termo geral da solução  y 1 x :

y 1 x = 1 + x 2 2 + x 4 2 ⋅ 4 + x 6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 + … + x 2 n 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 n + …

y 1 x = x 0 2 0 1 + x 2 2 1 1 + x 4 2 2 1 ⋅ 2 + x 6 2 3 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + … + x 2 n 2 n ( 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ … ⋅ n ) + …

y 1 x = x 2 × 0 2 0 0 ! + x 2 × 1 2 1 1 ! + x 2 × 2 2 2 2 ! + x 2 × 3 2 3 3 ! + … + x 2 n 2 n ( n ! ) + …

y 1 x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n 2 n n !

Portanto, o termo geral na solução é 

y 1 x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n 2 n n !

Passo 11

Vamos agora encontre o termo geral da solução  y 2 x :

y 2 x = x + x 3 3 + x 5 3 ⋅ 5 + x 7 3 ⋅ 5 ⋅ 7 + … + x 2 n + 1 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ 2 n + 1 + …

y 2 x = x 1 + 2 x 3 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 x 5 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + 2 ⋅ 4 ⋅ 6 x 7 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 + … + 2 ⋅ 4 ⋅ … ⋅ 2 n x 2 n + 1 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n + 1 + …

y 2 x = x 1 + 2 x 3 2 ⋅ 3 + 2 2 1 ⋅ 2 x 5 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + 2 3 1 ⋅ 2 ⋅ 3 x 7 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 + … + 2 n ( 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ n ) x 2 n + 1 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n + 1 + …

y 2 x = 2 0 0 ! x 1 ! + 2 1 1 ! x 3 3 ! + 2 2 2 ! x 5 5 ! + 2 3 3 ! x 7 7 ! + … + 2 n ( n ! ) x 2 n + 1 2 n + 1 ! + …

y 2 x = ∑ n = 0 ∞ 2 n n ! x 2 n + 1 2 n + 1 !

Portanto, o termo geral na solução é 

y 2 x = ∑ n = 0 ∞ 2 n n ! x 2 n + 1 2 n + 1 !

Resposta

(a)

n + 2 n + 1 a n + 2 - n a n - a n = 0                         n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

a n + 2 = a n n + 2                                 n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

(b)

y 1 x = 1 + x 2 2 + x 4 2 ⋅ 4 + x 6 2 ⋅ 4 ⋅ 6

y 2 x = x 1 + x 3 3 + x 5 3 ⋅ 5 + x 7 3 ⋅ 5 ⋅ 7

(c)

W y 1 x , y 2 x x 0 = 1

(d)

y 1 x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n 2 n n !

y 2 x = ∑ n = 0 ∞ 2 n n ! x 2 n + 1 2 n + 1 !

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 14:(a) Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x 0 ; encontre a relação de recorrência.(b) Encontre os quatro primeir
Em cada um dos problemas de 1 a 14:(a) Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x 0 ; encontre a relação de recorrência.(b) Encontre os quatro primeir
Em cada um dos problemas de 1 a 14:(a) Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x 0 ; encontre a relação de recorrência.(b) Encontre os quatro primeir
Em cada um dos problemas de 1 a 14:(a) Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x 0 ; encontre a relação de recorrência.(b) Encontre os quatro primeir
Em cada um dos problemas de 1 a 14:(a) Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x 0 ; encontre a relação de recorrência.(b) Encontre os quatro primeir