Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 14:

(a) Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x 0 ; encontre a relação de recorrência.

(b) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y 1 e y 2 (a menos que a série termine antes).

(c) Calculando o wronskiano W ( y 1 ,   y 2 ) ( x 0 ) , mostre que y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções.

(d) Se possível, encontre o termo geral em cada solução.

5.

1 - x y ' ' + y = 0                                           x 0 = 0

Passo 1

(a) Fala galera!!

Nos foi dado a seguinte equação diferencial:

1 - x y ' ' + y = 0

Queremos encontrar uma solução em forma de série de potências em torno de x 0 = 0 , e encontrar a relação de recorrência.

Uma equação diferencial pode ser escrita da seguinte maneira:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Se analisarmos a equação dada, podemos perceber que:

P x = 1 - x

Q x = 0

R x = 1

Logo, todo ponto é um ponto ordinário.

Passo 2

Vamos supor que y seja a seguinte série de potencia

y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … + a n x n + … = ∑ n = 0 ∞ a n x n

e vamos supor que a série converge em algum intervalo | x | < ρ . Também podemos diferenciar a equação acima. Assim, pelo que vimos na revisão de série, obtemos:

y ' = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + … + n a n x n - 1 + … = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

Diferenciando mais uma vez, temos:

y ' ' = 2 a 2 + 6 a 3 x + … + n n - 1 a n x n - 2 + … = ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2

Passo 3

Agora, vamos substituir os resultados encontrados ( y ' ' e   y ) na equação diferencial fornecida, assim temos:

1 - x y ' ' + y = 0

1 - x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Podemos multiplicar 1 - x pela série da seguinte maneira:

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 - x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 - ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 1 + ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Para combinar as três séries, precisamos reescrever elas de modo que ambas tenham o mesmo termo geral. Assim, mudamos o índice do somatório na primeira série substituindo n por n + 2 e começando a soma em 0 em vez de 2 , e também, mudamos o índice do somatório na segunda série substituindo n por n + 1 e começando a soma em 1 em vez de 2 . Assim temos:

∑ n + 2 = 2 ∞ n + 2 n + 2 - 1 a n + 2 x n + 2 - 2 - ∑ n + 1 = 2 ∞ n + 1 n + 1 - 1 a n + 1 x n + 1 - 1 + ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

∑ n = 2 - 2 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n - ∑ n = 2 - 1 ∞ n n + 1 a n + 1 x n + ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n - ∑ n = 1 ∞ n n + 1 a n + 1 x n + ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Passo 4

O segundo somatório está começando de 1 enquanto os outros dois começam de 0

Podemos abrir o somatório da seguinte maneira:

∑ n = 1 ∞ n n + 1 a n + 1 x n = 2 a 2 x + 6 a 3 x 2 + … + n n + 1 a n + 1 x n + …

Podemos dizer que:

= 0 0 + 1 a 0 + 1 x 0 + 2 a 2 x + 6 a 3 x 2 + … + n n + 1 a n + 1 x n + … = ∑ n = 0 ∞ n n + 1 a n + 1 x n

= 2 a 2 x + 6 a 3 x 2 + … + n n + 1 a n + 1 x n + … = ∑ n = 0 ∞ n n + 1 a n + 1 x n

Ou seja:

∑ n = 1 ∞ n n + 1 a n + 1 x n = ��� n = 0 ∞ n n + 1 a n + 1 x n

Passo 5

Substituindo na equação encontrada no final do passo 3, temos:

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n - ∑ n = 0 ∞ n n + 1 a n + 1 x n + ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Só podemos juntar os somatórios se eles começarem do mesmo número. Assim, podemos unir os somatórios da seguinte forma:

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n - n n + 1 a n + 1 x n + a n x n = 0

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 - n n + 1 a n + 1 + a n x n = 0

Passo 6

Para que a equação acima seja satisfeita para todo x , é preciso que o coeficiente de cada potência de x seja nulo. Logo, podemos concluir que:

n + 2 n + 1 a n + 2 - n n + 1 a n + 1 + a n = 0                         n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

Escrevendo de uma maneira melhor, temos que a relação de recorrência se torna:

n + 2 n + 1 a n + 2 = n n + 1 a n + 1 - a n                       n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

a n + 2 = n n + 1 a n + 1 - a n n + 2 n + 1                         n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

Passo 7

A equação acima é conhecida como uma relação de recorrência. Os coeficientes sucessivos podem ser calculados um a um escrevendo-se a relação de recorrência, primeiro para n = 0 , depois para n = 1 , e assim por diante. Fazendo isso, temos:

Para n = 0

a 2 = - a 0 2

Para n = 1

a 3 = 2 a 2 - a 1 6 = a 2 3 - a 1 6 = 1 3 ⋅ - a 0 2 - a 1 6 = - a 1 6 - a 0 6

Para n = 2

a 4 = 6 a 3 + a 2 12 = a 3 2 - a 2 12 = 1 4 ⋅ - a 1 6 - a 0 6 - 1 12 ⋅ - a 0 2 = - a 1 12 - a 0 24

Para n = 3

a 5 = 12 a 4 - a 3 20 = 3 a 4 5 - a 3 20 = 3 5 ⋅ - a 1 12 - a 0 24 - 1 24 ⋅ - a 1 6 - a 0 6 = - a 1 24 - a 0 60

Para n = 4

a 6 = 20 a 5 - a 4 30 = 2 a 5 3 - a 4 30 = 2 3 ⋅ - a 1 24 - a 0 60 - 1 30 ⋅ - a 1 12 - a 0 24 = - a 1 40 - 7 a 0 720

Passo 8

Agora, vamos substituir os coeficientes encontrados acima em y . A série de potencia que foi sugerida como sendo solução da equação diferencial.

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n

y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … + a n x n + …

y = a 0 + a 1 x - a 0 2 x 2 + - a 1 6 - a 0 6 x 3 + - a 1 12 - a 0 24 x 4 + - a 1 24 - a 0 60 x 5 + - a 1 40 - 7 a 0 720 x 6 + …

y = a 0 + a 1 x - a 0 2 x 2 - a 0 6 x 3 - a 1 6 x 3 - a 0 24 x 4 - a 1 12 x 4 - a 0 60 x 5 - a 1 24 x 5 - 7 a 0 720 x 6 - a 1 40 x 6 + …

y = a 0 1 - x 2 2 - x 3 6 - x 4 24 - x 5 60 - x 6 720 + … + a 1 x - x 3 6 - x 4 12 - x 5 24 - x 6 40 + …

Temos então que a solução y = a 0 y 1 + a 1 y 2 da equação diferencial sobre o ponto  x 0 = 0 é:

y 1 x = a 0 1 - x 2 2 - x 3 6 - x 4 24 - x 5 60 - x 6 720 + …

y 2 x = a 1 x - x 3 6 - x 4 12 - x 5 24 - x 6 40 + …

Aqui  a 0 a 1 são constantes arbitrárias.

Passo 9

(b) Temos que os primeiros quatros termos em cada uma das duas soluções são:

Para a solução y 1 x , temos:

y 1 x = 1 - x 2 2 - x 3 6 - x 4 24

Para a solução y 2 x , temos:

y 2 x = x - x 3 6 - x 4 12 - x 5 24

Passo 10

(c) Agora, vamos calcular o wronskiano W ( y 1 ,   y 2 ) ( x 0 ) , afim de mostrar que y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções. Lembre-se de que o Wronskiano das duas funções y 1 x e y 2 x é,

W y 1 x , y 2 x ( x 0 ) = y 1 x 0 y 2 x 0 y 1 ' x 0 y 2 ' x 0

Temos que:

y 1 x = 1 - x 2 2 - x 3 6 - x 4 24 - x 5 60 - x 6 720 + …

E sua derivada se torna:

y 1 ' x = - x - x 2 2 - x 3 4 - x 4 12 - x 5 120 + …

No ponto x 0 = 0 , as condições podem ser tomadas como:

y 1 0 = 1 - 0 2 2 - 0 3 6 - 0 4 24 - 0 5 60 - 0 6 720 + … = 1

y 1 ' 0 = - 0 - 0 2 2 - 0 3 4 - 0 4 12 - 0 5 120 + … = 0

Temos também que:

y 2 x = x - x 3 6 - x 4 12 - x 5 24 - x 6 40 + …

E sua derivada se torna:

y 2 ' x = 1 - x 2 2 - x 3 3 - 5 x 4 24 - 3 x 5 20 + …

No ponto x 0 = 0 , as condições podem ser tomadas como:

y 2 0 = 0 - 0 3 6 - 0 4 12 - 0 5 24 - 0 6 40 + … = 0

y 2 ' 0 = 1 - 0 2 2 - 0 3 3 - 5 0 4 24 - 3 0 5 20 + … = 1

Substituindo as funções temos:

W y 1 x , y 2 x x 0 = 1 0 0 1 = 1

Então

W y 1 x , y 2 x x 0 = 1

Como o Wronskiano é diferente de zero, as soluções  y 1 x e y 2 x são linearmente independentes. Portanto,  y 1 x e y 2 x formam um conjunto fundamental de soluções.

Passo 11

(d) Queremos encontrar o termo geral em cada solução. Temos que as duas soluções da equação diferencial são:

y 1 x = 1 - x 2 2 - x 3 6 - x 4 24 - x 5 60 - x 6 720 + …

y 2 x = x - x 3 6 - x 4 12 - x 5 24 - x 6 40 + …

Claramente, observa-se que os coeficientes nas duas soluções acima não formam nenhuma série. Portanto, o termo geral em cada solução não é possível.

Resposta

(a)

n + 2 n + 1 a n + 2 - n n + 1 a n + 1 + a n = 0                         n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

a n + 2 = n n + 1 a n + 1 - a n n + 2 n + 1                         n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

(b)

y 1 x = 1 - x 2 2 - x 3 6 - x 4 24

y 2 x = x - x 3 6 - x 4 12 - x 5 24

(c)

W y 1 x , y 2 x x 0 = 1

(d) O termo geral em cada solução não é possível.

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