Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 14:

(a) Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x 0 ; encontre a relação de recorrência.

(b) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y 1 e y 2 (a menos que a série termine antes).

(c) Calculando o wronskiano W ( y 1 ,   y 2 ) ( x 0 ) , mostre que y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções.

(d) Se possível, encontre o termo geral em cada solução.

6.

2 + x 2 y ' ' - x y ' + 4 y = 0                                           x 0 = 0

Passo 1

(a) Fala galera!!

Nos foi dado a seguinte equação diferencial:

2 + x 2 y ' ' - x y ' + 4 y = 0

Queremos encontrar uma solução em forma de série de potências em torno de x 0 = 0 , e encontrar a relação de recorrência.

Uma equação diferencial pode ser escrita da seguinte maneira:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Se analisarmos a equação dada, podemos perceber que:

P x = 2 + x 2

Q x = - x

R x = 4

Logo, todo ponto é um ponto ordinário.

Passo 2

Vamos supor que y seja a seguinte série de potencia

y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … + a n x n + … = ∑ n = 0 ∞ a n x n

e vamos supor que a série converge em algum intervalo | x | < ρ . Também podemos diferenciar a equação acima. Assim, pelo que vimos na revisão de série, obtemos:

y ' = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + … + n a n x n - 1 + … = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

Diferenciando mais uma vez, temos:

y ' ' = 2 a 2 + 6 a 3 x + … + n n - 1 a n x n - 2 + … = ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2

Passo 3

Agora, vamos substituir os resultados encontrados ( y ' ' ,   y ' e   y ) na equação diferencial fornecida, assim temos:

2 + x 2 y ' ' - x y ' + 4 y = 0

2 + x 2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 - x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + 4 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Podemos multiplicar 2 - x 2 pela primeira série e x pela segunda da seguinte maneira:

2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + x 2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 - x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + 4 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

∑ n = 2 ∞ 2 n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - ∑ n = 1 ∞ n a n x n + ∑ n = 0 ∞ 4 a n x n = 0

Para combinar as quatro séries, precisamos reescrever elas de modo que ambas tenham o mesmo termo geral x n . Assim, mudamos o índice do somatório na primeira série substituindo n por n + 2 e começando a soma em 0 em vez de 2 . Assim temos:

∑ n + 2 = 2 ∞ 2 n + 2 n + 2 - 1 a n + 2 x n + 2 - 2 + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - ∑ n = 1 ∞ n a n x n + ∑ n = 0 ∞ 4 a n x n = 0

∑ n = 0 ∞ 2 n + 2 n + 1 a n + 2 x n + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - ∑ n = 1 ∞ n a n x n + ∑ n = 0 ∞ 4 a n x n = 0

Passo 4

O segundo somatório está começando de 2 e o terceiro está começando de 1 enquanto os outros dois começam de 0. Podemos abrir o segundo somatório da seguinte maneira:

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n = 2 a 2 x 2 + 6 a 3 x 3 + … + n n - 1 a n x n + …

Podemos dizer que:

0 0 + 1 a 0 x 0 + 1 1 - 1 a 1 x 1 + 2 a 2 x 2 + 6 a 3 x 3 + … + n n - 1 a n x n + … = ∑ n = 0 ∞ n n - 1 a n x n

0 a 0 x 0 + 0 a 1 x 1 + 2 a 2 x 2 + 6 a 3 x 3 + … + n n - 1 a n x n + … = ∑ n = 0 ∞ n n - 1 a n x n

2 a 2 x 2 + 6 a 3 x 3 + … + n n - 1 a n x n + … = ∑ n = 0 ∞ n n - 1 a n x n

Ou seja:

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n = ∑ n = 0 ∞ n n - 1 a n x n

Podemos abrir o terceiro somatório da seguinte maneira:

∑ n = 1 ∞ n a n x n = 1 a 1 x 1 + 2 a 2 x 2 + 3 a 3 x 3 + … + n a n x n + …

Podemos dizer que:

0 a 0 x 0 + 1 a 1 x 1 + 2 a 2 x 2 + 3 a 3 x 3 + … + n a n x n + … = ∑ n = 0 ∞ n a n x n

1 a 1 x 1 + 2 a 2 x 2 + 3 a 3 x 3 + … + n a n x n + … = ∑ n = 0 ∞ n a n x n

Ou seja:

∑ n = 1 ∞ n a n x n = ∑ n = 0 ∞ n a n x n

Passo 5

Substituindo na equação encontrada no final do passo 3, temos:

∑ n = 0 ∞ 2 n + 2 n + 1 a n + 2 x n + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - ∑ n = 1 ∞ n a n x n + ∑ n = 0 ∞ 4 a n x n = 0

∑ n = 0 ∞ 2 n + 2 n + 1 a n + 2 x n + ∑ n = 0 ∞ n n - 1 a n x n - ∑ n = 0 ∞ n a n x n + ∑ n = 0 ∞ 4 a n x n = 0

Só podemos juntar os somatórios se eles começarem do mesmo número. Assim, podemos unir os somatórios da seguinte forma:

∑ n = 0 ∞ 2 n + 2 n + 1 a n + 2 x n + n n - 1 a n x n - n a n x n + 4 a n x n = 0

∑ n = 0 ∞ 2 n + 2 n + 1 a n + 2 + n n - 1 a n - n a n + 4 a n x n = 0

Passo 6

Para que a equação acima seja satisfeita para todo x , é preciso que o coeficiente de cada potência de x seja nulo. Logo, podemos concluir que:

2 n + 2 n + 1 a n + 2 + n n - 1 a n - n a n + 4 a n = 0                         n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

Escrevendo de uma maneira melhor, temos que a relação de recorrência se torna:

2 n + 2 n + 1 a n + 2 + n n - 1 - n + 4 a n = 0                         n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

2 n + 2 n + 1 a n + 2 + n 2 - 2 n + 4 a n = 0                         n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

2 n + 2 n + 1 a n + 2 = - n 2 - 2 n + 4 a n                         n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

a n + 2 = - n 2 - 2 n + 4 a n 2 n + 2 n + 1                         n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

Passo 7

A equação acima é conhecida como uma relação de recorrência. Os coeficientes sucessivos podem ser calculados um a um escrevendo-se a relação de recorrência, primeiro para n = 0 , depois para n = 1 , e assim por diante. Fazendo isso, temos:

Para n = 0

a 2 = - 0 2 - 2 0 + 4 a 0 2 0 + 2 0 + 1 = - a 0

Para n = 1

a 3 = - 1 2 - 2 1 + 4 a 1 2 1 + 2 1 + 1 = - a 1 4

Para n = 2

a 4 = - 2 2 - 2 2 + 4 a 2 2 2 + 2 2 + 1 = - a 2 6 = - 1 6 ⋅ - a 0 = a 0 6

Para n = 3

a 5 = - 3 2 - 2 3 + 4 a 3 2 3 + 2 3 + 1 = - 7 a 3 40 = - 7 40 ⋅ - a 1 4 = 7 a 1 160

Para n = 4

a 6 = - 4 2 - 2 4 + 4 a 4 2 4 + 2 4 + 1 = - a 4 5 = - 1 5 ⋅ a 0 6 = - a 0 30

Para n = 5

a 7 = - 5 2 - 2 5 + 4 a 5 2 5 + 2 5 + 1 = - 19 a 5 84 = - 19 84 ⋅ 7 a 1 160 = - 19 a 1 1920

Passo 8

Agora, vamos substituir os coeficientes encontrados acima em y . A série de potencia que foi sugerida como sendo solução da equação diferencial.

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n

y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … + a n x n + …

y = a 0 + a 1 x - a 0 x 2 - a 1 4 x 3 + a 0 6 x 4 + 7 a 1 160 x 5 - a 0 30 x 6 - 19 a 1 1920 x 7 + …

y = a 0 1 - x 2 + x 4 6 - x 6 30 + … + a 1 x - x 3 4 + 7 x 5 160 - 19 x 7 1920 + …

Temos então que a solução y = a 0 y 1 + a 1 y 2 da equação diferencial sobre o ponto  x 0 = 0 é:

y 1 x = a 0 1 - x 2 + x 4 6 - x 6 30 + …

y 2 x = a 1 x - x 3 4 + 7 x 5 160 - 19 x 7 1920 + …

Aqui  a 0 a 1 são constantes arbitrárias.

Passo 9

(b) Temos que os primeiros quatros termos em cada uma das duas soluções são:

Para a solução y 1 x , temos:

y 1 x = 1 - x 2 + x 4 6 - x 6 30

Para a solução y 2 x , temos:

y 2 x = x - x 3 4 + 7 x 5 160 - 19 x 7 1920

Passo 10

(c) Agora, vamos calcular o wronskiano W ( y 1 ,   y 2 ) ( x 0 ) , afim de mostrar que y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções. Lembre-se de que o Wronskiano das duas funções y 1 x e y 2 x é,

W y 1 x , y 2 x ( x 0 ) = y 1 x 0 y 2 x 0 y 1 ' x 0 y 2 ' x 0

Temos que:

y 1 x = 1 - x 2 + x 4 6 - x 6 30 + …

E sua derivada se torna:

y 1 ' x = - 2 x + 2 x 3 3 - x 5 5 + …

No ponto x 0 = 0 , as condições podem ser tomadas como:

y 1 0 = 1 - 0 2 + 0 4 6 - 0 6 30 + … = 1

y 1 ' 0 = - 2 0 + 2 0 3 3 - 0 5 5 + … = 0

Temos também que:

y 2 x = x - x 3 4 + 7 x 5 160 - 19 x 7 1920 + …

E sua derivada se torna:

y 2 ' x = 1 - 3 x 2 4 + 7 x 4 32 - 133 x 6 1920 + …

No ponto x 0 = 0 , as condições podem ser tomadas como:

y 2 0 = 0 - 0 3 4 + 7 0 5 160 - 19 0 7 1920 + … = 0

y 2 ' 0 = 1 - 3 0 2 4 + 7 0 4 32 - 133 0 6 1920 + … = 1

Substituindo as funções temos:

W y 1 x , y 2 x x 0 = 1 0 0 1 = 1

Então

W y 1 x , y 2 x x 0 = 1

Como o Wronskiano é diferente de zero, as soluções  y 1 x e y 2 x são linearmente independentes. Portanto,  y 1 x e y 2 x formam um conjunto fundamental de soluções.

Passo 11

(d) Queremos encontrar o termo geral em cada solução. Temos que as duas soluções da equação diferencial são:

y 1 x = 1 - x 2 + x 4 6 - x 6 30 + …

y 2 x = x - x 3 4 + 7 x 5 160 - 19 x 7 1920 + …

Claramente, observa-se que os coeficientes nas duas soluções acima não formam nenhuma série. Portanto, o termo geral em cada solução não é possível.

Resposta

(a)

2 n + 2 n + 1 a n + 2 + n n - 1 a n - n a n + 4 a n = 0                         n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

a n + 2 = - n 2 - 2 n + 4 a n 2 n + 2 n + 1                         n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

(b)

y 1 x = 1 - x 2 + x 4 6 - x 6 30

y 2 x = x - x 3 4 + 7 x 5 160 - 19 x 7 1920

(c)

W y 1 x , y 2 x x 0 = 1

(d) O termo geral em cada solução não é possível.

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