Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 4:

(a) Desenhe um campo de direções e esboce algumas trajetórias.

(b) Descreva como as soluções se comportam quando t   →   ∞ .

(c) Encontre a solução geral do sistema de equações.

x ' = - 3 2 1 - 1 4 - 1 2 x

Passo 1

Para (b). Faremos uma breve analise após o desenharmos as direções do campo e suas trajetórias, ou podemos calculara letra (c) e aplicaremos para t tendendo a infinito e veremos o resultado deste limite ou analise gráfica.

Na letra (c) encontraremos os autovalores e autovetores da matriz e por final aplicaremos a formula da solução geral.

Passo 2

a) Direção do campo que possuimos:

b) Acredito que fica bem tranquilo de enxergar no gráfico que para t tendendo para infinito todo o campo converge para a origem.

Passo 3

c) Para determinarmos a solução geral do sistema temos que encontrar os autovalores e autovetores associados.

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) .

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = - 3 2 1 - 1 4 - 1 2 - r 0 0 r

det ⁡ A - r I = - 3 2 - r 1 - 1 4 - 1 2 - r

det ⁡ A - r I = r 2 + 2 r + 1

Tendo as raízes:

r 1,2 = - 1

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = - 1 , temos:

A - r I ξ = 0

- 1 2 1 - 1 4 1 2 ∙ ξ 1 ξ 2 = 0

Escalonando a matriz temos:

1 - 2 0 0 ∙ ξ 1 ξ 2 = 0

Reduzindo o sistema para:

ξ 1 = 2 ξ 2

Para r = - 1 :

ξ 1 = 2 1

x ( 1 ) t = 2 1 ∙ e - t

Para podermos calcular a segunda solução linear, teremos que generalizar um vetor próprio:

- 1 2 1 - 1 4 1 2 ∙ η 1 η 2 = 2 1

Escalonando a matriz temos:

- 1 / 2 1 0 0 ∙ η 1 η 2 = 2 0

1 - 2 0 0 ∙ η 1 η 2 = - 4 0

Temos que:

η 1 - 2 η 2 = - 4

Procuramos um vetor que satisfaça está equação, um deles pode ser:

0 2

Aplicando a segunda solução para autovalores repetidos:

x 2 = 2 1 t e - t + 0 2 e - t

Aplicando a formula da solução geral temos:

x = c 1 x 1 t + c 2 x ( 2 ) t

Logo a solução geral fica:

x = c 1 2 1 e - t + c 2 2 1 t e - t + 0 2 e - t

Resposta

b) Acredito que fica bem tranquilo de enxergar no gráfico que para t tendendo para infinito todo o campo converge para a origem.

c) x = c 1 2 1 e - t + c 2 2 1 t e - t + 0 2 e - t

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