Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Capítulo 6.1 - Ex. 17

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Em cada um dos problemas de 15 a 20, use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada; n é um inteiro positivo e a é uma constante real.

17. f t = t c o s h a t

Passo 1

Começamos aplicando a transformada na função dada:

L t c o s h a t = ∫ 0 ∞ e - s t t c o s h a t   d t

Podemos escrever o cosseno hiperbólico como uma soma de exponenciais da seguinte maneira:

c o s h a t = e a t + e - a t 2

A integral vai ficar o seguinte:

∫ 0 ∞ e - s t t c o s h a t   d t = 1 2 ∫ 0 ∞ e - s t t ( e a t + e - a t )   d t

Resolvendo o produto:

1 2 ∫ 0 ∞ e - s t t ( e a t + e - a t )   d t = 1 2 ∫ 0 ∞ t e ( a - s ) t + t e - ( a + s ) t   d t

E separando em duas integrais:

1 2 ∫ 0 ∞ t e ( a - s ) t + t e - ( a + s ) t   d t = 1 2 ∫ 0 ∞ t e ( a - s ) t   d t + 1 2 ∫ 0 ∞ t e - ( a + s ) t   d t

Passo 2

Agora a gente resolve uma de cada vez usando método de integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Na primeira, vamos chamar t de u e e a - s t de d v . Vamos também, substituir o por A e aplicar o limite, já que a integral é impropria, ela fica:

lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A t e ( a - s ) t   d t = lim A → ∞ ⁡ t e a - s t a - s A 0 - ∫ 0 A e a - s t a - s   d t

Agora integramos a última parte:

lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A t e ( a - s ) t   d t = lim A → ∞ ⁡ t e a - s t a - s A 0 - e a - s t a - s 2 A 0

Ao aplicarmos os limites, a exponencial pode explodir no infinito, vamos então colocar uma condição para que ela tenda para zero quando A → ∞ :

a - s > 0

s < a

Com isso, as exponenciais somem, a integral fica o seguinte:

lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A t e ( a - s ) t   d t = - 1 a - s 2

Passo 3

Fazemos o mesmo para a outra integral que precisamos resolver. Escrevemos o limite de A → ∞ , chamamos t de u e e - a + s t de d v para a integração por partes ficar:

lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A t e - ( a + s ) t   d t = lim A → ∞ ⁡ - t e - a + s t a + s A 0 + ∫ 0 A e - a + s t a + s   d t

Resolvendo a última integral:

lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A t e - ( a + s ) t   d t = lim A → ∞ ⁡ - t e - a + s t a + s A 0 - e - a + s t a + s 2 A 0

Vamos colocar de novo uma condição para que as exponenciais não façam a integral divergir:

a + s > 0

s > - a

Juntando com a condição de antes, nossa condição final vai ser:

- a < s < a

s > | a |

Agora quando a gente substituir os limites de integração, as exponenciais serão zero, e vai sobrar o seguinte:

lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A t e - ( a + s ) t   d t = - 1 a + s 2

Passo 4

Substituindo os nossos resultados lá na equação da transformada:

1 2 ∫ 0 ∞ t e ( a - s ) t + t e - ( a + s ) t   d t = - 1 2 1 a - s 2 + 1 a + s 2

L t c o s h a t = - 1 2 1 a - s 2 + 1 a + s 2 ,         s > | a |

Resposta

L t c o s h a t = - 1 2 1 a - s 2 + 1 a + s 2 ,         s > | a |

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