Encontre a solução geral da equação diferencial

2y'' + 3y' + y = t^2 + 3sen(t)

Passo 1

O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.

Primeiramente, vamos determinar a solução da EDO homogênea ( y h ). Lembrando que a EDO homogênea é 2 y ' ' + 3 y ' + y =   0 .

Em seguida, determinaremos a solução particular da EDO ( y p ).

E por fim, acharemos a solução geral da EDO somando a solução homogênea com a solução particular, y = y h +   y p .

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, y ' ' passa a ser r 2 , y ' passa a ser r 2 e y é o termo independente.

.

2 r 2 + 3 r + 1 = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o ∆   =   b 2 - 4 a c   e utilizaremos a fórmula de Bhaskara r = - b ± ∆ 2 a .

Sendo que a = 2 , b = 3   e c = 1 .

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆   > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a solução será:
  • y =   C 1 e r 1 t +   C 2 e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a solução será:
  • y =   C 1 e r 1 t +   C 2 t e r 2 t

  • Se o resultado do ∆   < 0 , teremos duas raízes complexas, e a solução será:

y =   e α t C 1 c o s β t +   C 2 s e n β t

Com isso em mãos vamos determinar as raízes da equação características.

∆   =   b 2 - 4 a c

∆   =   3 2 - 4 2 1

∆   =   1

Substituindo na fórmula de Bhaskara.

r = - b ± ∆ 2 a

r = - 3 ± 1 2 ( 2 )

r = - 3 ± 1 4

r 1 = - 3 - 1 4 = - 1

e

r 2 = - 3 + 1 4 = - 1 2

Passo 3

Como ∆   =   1 , a solução da EDO homogênea será:

y h =   C 1 e r 1 t +   C 2 e r 2 t

y h =   C 1 e - t +   C 2 e - 1 2 t

Passo 4

Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:

y p = y p 1 +   y p 2

Onde,

y p 1 = A + B t + C t 2  

Que satisfaz a equação

2 y ' ' p 1 + 3 y ' p 1 +   y p 1 =   t 2

y p 2 = D s e n t + E c o s t

Que satisfaz a equação

2 y ' ' p 2 + 3 y ' p +   y p 2 =   3 s e n t

Substituiremos y p 1 na EDO do problema para assim, determinar as constantes A, B e C.

y ' p 1 = B + 2 C t

y ' ' p 1 = 2 C

Lembrando que, 2 y ' ' p 1 + 3 y ' p 1 +   y p 1 =   t 2

2 ( 2 C ) + 3 ( B + 2 C t ) + ( A + B t + C t 2 ) =   t 2

( A + 3 B + 4 C ) + ( B + 6 C ) t + C t 2 =   t 2

Para manter a igualdade,

A + 3 B + 4 C = 0

B + 6 C = 0

C = 1

Com isso, resolvendo o sistema

A = 14                         B =   - 6                       C = 1

Logo,

y p 1 = 14 - 6 t + t 2  

Substituiremos y p 2 na EDO do problema para assim, determinar as constantes C e D.

y ' p 2 = D c o s t - E s e n t

y ' ' p 2 = - D s e n t - E c o s t

Lembrando que, 2 y ' ' p 2 + 3 y ' p +   y p 2 =   3 s e n t

2 ( - D s e n t - E c o s t ) + 3 ( D c o s t - E s e n t ) + ( D s e n t + E c o s t ) =   3 s e n t

- D - 3 E s e n t +   ( 3 D - E ) c o s t =   3 s e n t

Para manter a igualdade,

- D - 3 E = 3

3 D - E = 0

Com isso, resolvendo o sistema

D = -   3 10

E = -   9 10  

Logo,

y p 2 = -   3 10   s e n t -   9 10   c o s t

Portanto, a solução particular da EDO será

y p =   14 - 6 t + t 2 -   3 10   s e n t -   9 10   c o s t

Passo 5

A solução da EDO será

y = y h +   y p

y =   C 1 e - t +   C 2 e - 1 2 t +   14 - 6 t + t 2 -   3 10   s e n t -   9 10   c o s t

Resposta

y =   C 1 e - t +   C 2 e - 1 2 t +   14 - 6 t + t 2 -   3 10   s e n t -   9 10   c o s t

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