Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Capítulo 6.1 - Ex. 15

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Em cada um dos problemas de 15 a 20, use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada; n é um inteiro positivo e a é uma constante real.

15. f t = t e a t

Passo 1

Primeiro aplicamos a transformada de Laplace na função dada:

L t e a t = ∫ 0 ∞ e - s t t e a t   d t = ∫ 0 ∞ t e a - s t d t

O método de integração por partes pode ser escrito como:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Chamamos então t de u e e a t de d v . Nossa integral fica:

lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A t e a - s t   d t = lim A → ∞ ⁡ t e a - s t a - s A 0 - ∫ 0 A e a - s t a - s d t

lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A t e a - s t   d t = lim A → ∞ ⁡ t e a - s t a - s A 0 + ∫ 0 A e a - s t s - a d t

O limite apareceu por conta de do limite superior tender a infinito, fazendo com que a integral seja impropria.

Passo 2

Agora resolvemos a última integral:

∫ 0 A e a - s t s - a d t = - e a - s t s - a 2 A 0

Substituindo no passo anterior:

lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A t e a - s t   d t = lim A → ∞ ⁡ t e a - s t a - s A 0 - e a - s t s - a 2 A 0

Para que os limites superiores façam a exponencial tender a zero e não explodir para infinito, precisamos colocar a seguinte condição para o produto nos expoentes:

a - s < 0

s > a

Passo 3

Ao aplicarmos os limites, o primeiro termo tende a zero por L’Hôpital no limite superior, e no inferior resulta em zero:

lim A → ∞ ⁡ t e a - s A s - a - 0 e a - s 0 s - a = lim A → ∞ ⁡ A e a - s A s - a = lim A → ∞ ⁡ A s - a e a - s A

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos em cima e embaixo por A:

lim A → ∞ ⁡ 1 1 e a - s A = lim A → ∞ ⁡ e a - s A = 0

O segundo termo do resultado da integral zera para o limite superior, mas para o limite inferior não, ficando:

lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A t e a - s t   d t = e a - s 0 s - a 2 = 1 s - a 2

Passo 4

Substituindo na equação da transformada:

L t e a t = ∫ 0 ∞ t e a - s t d t = 1 s - a 2 ,       s > a

L t e a t = 1 s - a 2 ,       s > a

Resposta

L t e a t = 1 s - a 2 ,       s > a

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