Enunciado

Em cada um dos problemas de 15 a 22:

(a) Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.

(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.

20.

f x = x ,             0 < x < 1       s é r i e   c o m   p e r í o d o   1

Passo 1

(a) Fala galera!!!

A equação fornecida é a seguinte:

f x = x ,             0 < x < 1

Queremos encontrar os coeficientes a n e b n para as series em cosseno e seno das extensões par e impar para um período 2 L da função f x .

Em que a f x pode ser dada como uma série de Fourier da seguinte forma:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L

Onde os coeficientes a n e b n são dados pela seguinte expressão:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x                           n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x                           n = 1 ,   2 ,   …

Para este caso, L = 1 / 2 .

Passo 2

Podemos observar que f x é especificado durante todo o período fundamental T = 1 e, portanto, não podemos estender f para torná-la uma função ímpar ou par. Podemos usar os resultados do Problema 27 da Seção 10.2 para escrever as integrais de a n e b n . Ou seja, se f x é periódico de período T , então toda integral de f em um intervalo de comprimento T tem o mesmo valor. Assim, podemos dizer que:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x = 1 L ∫ 0 2 L f x cos ⁡ n π x L d x

E

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x = 1 L ∫ 0 2 L f x sen ⁡ n π x L d x

Passo 3

Então, para n = 0 , podemos calcular a 0 da seguinte maneira:

a 0 = 1 L ∫ 0 2 L f x d x

a 0 = 1 1 / 2 ∫ 0 1 x d x = 2 x 2 2 0 1 = 1

Agora, vamos calcular a n . Assim temos:

a n = 1 1 / 2 ∫ 0 1 x cos ⁡ n π x 1 / 2 d x

a n = 2 ∫ 0 1 x cos ⁡ 2 n π x d x

a n = 2 x 2 n π sen ⁡ 2 n π x + 1 2 n π 2 cos ⁡ 2 n π x 0 1

a n = 2 1 2 n π sen ⁡ 2 n π + 1 2 n π 2 cos ⁡ 2 n π - 0 2 n π sen ⁡ 0 + 1 2 n π 2 cos ⁡ 0

Temos que sen ⁡ 2 n π sempre será 0 , temos também que sen ⁡ 0 = 0 e cos ⁡ 0 = 1 .

a n = 1 2 n 2 π 2 cos ⁡ 2 n π - 1 2 n 2 π 2

Temos que cos ⁡ 2 n π sempre será 1. Logo:

a n = 1 2 n 2 π 2 - 1 2 n 2 π 2 = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular b n . Assim temos que:

b n = 1 L ∫ 0 2 L f x sen ⁡ n π x L d x

b n = 1 1 / 2 ∫ 0 1 x sen ⁡ n π x 1 / 2 d x

b n = 2 ∫ 0 1 x sen ⁡ 2 n π x d x

b n = 2 - x 2 n π cos ⁡ 2 n π x + 1 2 n π 2 sen ⁡ 2 n π x 0 1

b n = 2 - 1 2 n π cos ⁡ 2 n π + 1 2 n π 2 sen ⁡ 2 n π - - 0 2 n π cos ⁡ 0 + 1 2 n π 2 sen ⁡ 0

Temos que sen ⁡ 0 = 0 e que sen ⁡ 2 n π sempre será 0 . Assim temos que:

b n = 2 - 1 2 n π cos ⁡ 2 n π

b n = - 1 n π cos ⁡ 2 n π

Temos que independente de n o cos ⁡ 2 n π sempre será 1. Logo:

b n = - 1 n π

Passo 5

Substituindo, os termos encontrados na relação fornecida no passo 1, temos que a série de Fourier de f x é a seguinte:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L

f x = 1 2 + ∑ n = 1 ∞ 0 cos ⁡ n π x 1 / 2 - 1 n π sen ⁡ n π x 1 / 2

f x = 1 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n π sen ⁡ 2 n π x

f x = 1 2 - 1 π ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ 2 n π x n

Portanto, a solução necessária é:

f x = 1 2 - 1 π ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ 2 n π x n

Passo 6

(b) Podemos esboçar o gráfico da função da seguinte maneira:

Resposta

f x = 1 2 - 1 π ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ 2 n π x n

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