Enunciado

33. Prove que a derivada de uma função par é ímpar e que a derivada de uma função ímpar é par.

Passo 1

Fala galera!!!

Para resolver essa questão, vamos supor f como sendo uma função ímpar, ou seja, f - x = - f x . Vamos supor também que F x é a derivada de f x , ou seja, F x = f ' x . Então, pela definição da derivada, temos o seguinte:

F x 0 = f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0 = lim h → 0 ⁡ f x 0 + h - f x 0 h

Podemos dizer o seguinte:

F - x 0 = f ' - x 0

Logo:

f ' - x 0 = lim h → 0 ⁡ f - x 0 + h - f - x 0 h

Como f é uma função ímpar:

f ' - x 0 = lim h → 0 ⁡ f - x 0 + h + f x 0 h

f ' - x 0 = lim h → 0 ⁡ f - x 0 - h + f x 0 h

Agora, podemos fazer uma substituição de variável da seguinte maneira:

x = x 0 - h

Então

h = x 0 - x

e quando h → 0 , temos que x → x 0 . Substituindo temos:

f ' - x 0 = lim x → x 0 ⁡ f - x + f x 0 x 0 - x

Como f é uma função impar

f ' - x 0 = lim x → x 0 ⁡ - f x + f x 0 x 0 - x

f ' - x 0 = lim x → x 0 ⁡ - f x - f x 0 - x - x 0

f ' - x 0 = lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0

f ' - x 0 = f ' x 0

Ou seja:

F - x 0 = F x 0

Que temo propriedades de uma função par. Portanto, a função F x que é par, é a derivada da função ímpar f x .

Passo 2

Em seguida, vamos supor g como sendo uma função par, ou seja, g - x = g x . Vamos supor também que G x é a derivada de g x , ou seja, G x = g ' x . Então, pela definição da derivada, temos o seguinte:

G x 0 = g ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ g x - g x 0 x - x 0 = lim h → 0 ⁡ g x 0 + h - g x 0 h

Podemos dizer o seguinte:

G - x 0 = g ' - x 0

Logo:

g ' - x 0 = lim h → 0 ⁡ g - x 0 + h - g - x 0 h

Como g é uma função par:

g ' - x 0 = lim h → 0 ⁡ g - x 0 + h - g x 0 h

g ' - x 0 = lim h → 0 ⁡ g - x 0 - h - g x 0 h

Agora, podemos fazer uma substituição de variável da seguinte maneira:

x = x 0 - h

Então

h = x 0 - x

e quando h → 0 , temos que x → x 0 . Substituindo temos:

g ' - x 0 = lim x → x 0 ⁡ g - x - g x 0 x 0 - x

Como g é uma função par

g ' - x 0 = lim x → x 0 ⁡ g x - g x 0 x 0 - x

g ' - x 0 = lim x → x 0 ⁡ g x - g x 0 - x - x 0

g ' - x 0 = - lim x → x 0 ⁡ g x - g x 0 x - x 0

g ' - x 0 = - g ' x 0

Ou seja:

G - x 0 = - G x 0

Que temo propriedades de uma função ímpar. Portanto, a função G x que é ímpar, é a derivada da função par g x .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 7 a 12, é dada uma função f em um intervalo de comprimento L . Em cada caso, esboce os gráficos da extensão par e da extensão ímpar de f de período 2 L .8. f x = 0 , x - 1
Em cada um dos problemas de 15 a 22:(a) Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.19. f x = 0
Em cada um dos problemas de 15 a 22:(a) Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.18. f x = 1
Em cada um dos problemas de 15 a 22:(a) Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos. 21. f x =
Em cada um dos problemas de 23 a 26:(a) Encontre a série de Fourier indicada na função dada.(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.(c) Faça o gráf