Enunciado

Em cada um dos problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.

A = 1 0 0 2 1 - 2 3 2 1

Passo 1

O cálculo de Autovalores pode ser dado por:

det ⁡ A - λ I

Onde:

= 1 - λ 1 - λ 2 + 4 = ( 1 - λ ) ( 3 - 2 λ + λ 2 )

= 1 - λ λ - 1 - 2 i λ - 1 + 2 i = 0

Os autovalores podem ser dados por:

λ 1 = 1

y 2 = 1 + 2 i

y 3 = 1 - 2 i

Passo 2

Para encontrar o vetor próprio de autovetor correspondente a λ 1 = 1 , precisamos resolver A - λ I = 0 . Use a eliminação de Gauss para encontrar o autovetor (este é um sistema homogêneo de equações)

0 0 0 2 0 - 2 3 2 0 = 0 0 0 1 0 - 1 3 2 0

Tranformando em um sistema de equações onde v 3 = v 1   e   2 v 2 = - 3 v 1 . Portanto, nossa opção de Autovetor será:

2 - 3 2

Passo 3

Quando usamos o autovalor λ = 1 - 2 i , nós precisamos aplicar na fórmula:

A - λ I = 0

Usaremos eliminação de Gauss:

2 i 0 0 2 2 i - 2 3 2 2 i = 1 0 0 2 2 i - 2 3 2 2 i = 1 0 0 1 i - 1 3 2 2 i

1 0 0 1 i - 1 3 0 0 = 1 0 0 1 i - 1 0 0 0 = 1 0 0 0 i - 1 0 0 0

A partir da redução superior, obtemos que temos uma variável livre v 2 e a conexão v 3 = i v 2 e v 1 = 0 , portanto, uma opção para o autovetor é:

0 1 i

O vetor próprio para λ = 1 + 2 i é o conjugado do vetor próprio de λ = 1 - 2 i :

0 1 - i

Resposta

Para λ 1 = 1   t e m o s   2 - 3 2 .

Para λ = 1 ± 2 i temos   0 1 ± i .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 7 a 11, determine se os elementos do conjunto de vetores dados são linearmente independentes. Se forem linearmente dependentes, encontre uma relação linear entre eles. Os v
Em cada um dos problemas de 1 a 6, resolva o sistema de equações dado ou mostre que não tem solução.6. x 1 + 2 x 2 - x 3 = - 2 - 2 x 1 - 4 x 2 + 2 x 3 = 4 2 x 1 + 4 x 2 - 2 x 3 = - 4
Em cada um dos problemas de 7 a 11, determine se os elementos do conjunto de vetores dados são linearmente independentes. Se forem linearmente dependentes, encontre uma relação linear entre eles. Os v
Em cada um dos problemas de 7 a 11, determine se os elementos do conjunto de vetores dados são linearmente independentes. Se forem linearmente dependentes, encontre uma relação linear entre eles. Os v
Demonstre a regra do produto (8.58).