Enunciado

Em cada um dos problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.

A = 5 - 1 3 1

Passo 1

O cálculo de Autovalores pode ser dado por:

det ⁡ ( A - λ I )

det ⁡ 5 - 1 3 1 - λ 1 0 0 1

= 5 - λ 1 - λ + 3 = 0

λ 2 - 6 λ + 8 = 0

Resolvendo a equação quadrática por Bhaskara:

λ 1 = 8 2 = 4

λ 2 = 4 2 = 2

Passo 2

Podemos calcular o Autovetor quando λ = 4 :

A - λ I = 0

1 - 1 3 - 3 0 0

Multiplicando a primeira linha por -3 e adicionando a segunda linha E 1   n o v o = - 3 E 1 + E 2 :

1 - 1 0 0 0 0

Ficamos com:

x 1 - x 2 = 0

x 1 = x 2

Nosso primeiro autovedor será dado por:

v 1 = x 1 x 2 = x 1 1

Para λ = 4 o autovetor é 1 1 .

Passo 3

Podemos calcular o Autovetor quando λ = 2 :

A - λ I = 0

3 - 1 3 - 1 0 0

Multiplicando a primeira linha por -3 e adicionando e segunda linha E 1   n o v o = - 3 E 1 + E 2 :

3 - 1 0 0 0 0

Ficamos com:

3 x 1 - x 2 = 0

3 x 1 = x 2

Nosso primeiro autovedor será dado por:

v 1 = x 1 x 2 = x 1 1 3

Para λ = 2 o autovetor é 1 3 .

Resposta

Para λ = 4 o autovetor é 1 1 .

Para λ = 2 o autovetor é 1 3 .

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