Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 6, resolva o sistema de equações dado ou mostre que não tem solução.

6.

x 1 + 2 x 2 - x 3 = - 2 - 2 x 1 - 4 x 2 + 2 x 3 = 4 2 x 1 + 4 x 2 - 2 x 3 = - 4

Passo 1

Fala galera!!

Nos foi dado o seguinte sistema de equações:

x 1 + 2 x 2 - x 3 = - 2 - 2 x 1 - 4 x 2 + 2 x 3 = 4 2 x 1 + 4 x 2 - 2 x 3 = - 4

Nosso objetivo é determinar se o sistema de equações tem uma solução ou não.

Passo 2

Para resolves essa questão, podemos escrever o sistema de equações na forma de matriz. Assim temos:

1 2 - 1 - 2 - 4 2 2 4 - 2 x 1 x 2 x 3 = - 2 4 - 4

Podemos escrever a matriz aumentada para o sistema da seguinte maneira:

1 2 - 1 - 2 - 4 2 2 4 - 2 - 2 4 - 4

Passo 3

Agora, vamos usar as operações de linha para tornar a matriz mais simples de resolver. Assim temos:

1 2 - 1 - 2 - 4 2 2 4 - 2 - 2 4 - 4 L 2 → L 2 + 2 L 1 L 3 → L 3 - 2 L 1 = 1 2 - 1 0 0 0 0 0 0 - 2 0 0

Passo 4

A matriz aumentada obtida onde é:

1 2 - 1 0 0 0 0 0 0 - 2 0 0

O sistema de equações na forma de matriz é o seguinte:

1 2 - 1 0 0 0 0 0 0 x 1 x 2 x 3 = - 2 0 0

O sistema de equações correspondente é:

x 1 + 2 x 2 - x 3 = - 2

Passo 5

Para resolver o sistema equações acima, podemos tomar  x 3 = α e x 2 = β (constantes arbitrárias).

Então, a partir da equação do sistema

x 1 + 2 x 2 - x 3 = - 2

x 1 + 2 β - α = - 2

x 1 = - 2 + α - 2 β

Portanto, a solução do sistema de equações dado é  x 1 = - 2 + α - 2 β ,   x 2 = β + α ,   x 3 = α .

Aqui,  α  e β são constantes arbitrárias.

Resposta

x 1 = - 2 + α - 2 β ,   x 2 = β + α ,   x 3 = α

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