Enunciado

Em cada um dos problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.

A = 1 i - i 1

Passo 1

O cálculo de Autovalores pode ser dado por:

det ⁡ ( A - λ I )

det ⁡ 1 i - i 1 - λ 1 0 0 1

= 1 - λ 1 - λ - 1 = 0

λ 2 - 2 λ = λ ( λ - 2 )

Resolvendo a equação quadrática por Bhaskara:

λ 1 = 0

λ 2 = 2

Passo 2

Podemos calcular o Autovetor quando λ = 0 :

A - λ I = 0

1 i - i 1 0 0

Multiplicando a primeira linha por i e adicionando e segunda linha :

i - i - 1 + 1 - i 1 0 0

Ficamos com:

- i x 1 + x 2 = 0

i x 1 = x 2

Nosso primeiro autovedor será dado por:

v 1 = x 1 i x 1 = x 1 i

Para λ = 0 o autovetor é 1 i .

Passo 3

Podemos calcular o Autovetor quando λ = 2 :

A - λ I = 0

- 1 i - i - 1 0 0

Multiplicando a primeira linha por i e subtraindo a segunda linha .

Ficamos com:

- i x 1 - x 2 = 0

- i x 1 = x 2

Nosso primeiro autovedor será dado por:

v 1 = x 1 - i x i = x 1 1 - i

Para λ = 2 o autovetor é 1 - i .

Resposta

Para λ = 0 o autovetor é 1 i .

Para λ = 2 o autovetor é 1 - i .

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