Enunciado

Em cada um dos problemas de 17 a 22, encontre a solução do problema de valor inicial. Esboçe o gráfico da solução e descreva seu comportamento para valores cada vez maiores de t .

y ' ' + y = 0 ,               y π / 3 = 2 ,         y ' π / 3 = - 4

Passo 1

O começo da nossa seção 3.3, temos uma equação geral dada por a y ' ' + b y ' + c y = 0 , onde a , b e c são números reais. Supondo como solução y = e r t , é possível descrever a nossa solução geral.

Passo 2

Usando a ideia do passo 1, temos que

y ' ' + y = r 2 e r t + e r t = 0

Na qual temos que y ' ' = r 2 e r t .

Assim temos nossa equação característica dada por

r 2 + 1 = 0

Agora só precisamos resolver nossa equação de segundo grau. Lembra de Baskara? Tem gente que acha que não serve pra nada hahaha. Resolvendo nossa equação chegamos em

r = ± i

Tendo como solução

y = c 1 e i t + c 2 e - i t

Outra forma de escrevermos nossa solução é utilizando uma transformação pela fórmula de Euler e tomar

y = ( C 1 cos ⁡ t + C 2   s e n   t )

Perceba que C 1 e C 2 são diferentes de c 1 e c 2 .

Passo 3

Uma vez que encontramos a nossa solução, podemos agora resolver nosso problema de valor inicial. Assim teremos que

y π / 3 = C 1 cos ⁡ π / 3 + C 2   s e n   π / 3 = 1 2 C 1 + 3 2 C 2 = 2

E

y ' = - C 1 sen ⁡ t + C 2 cos ⁡ t

onde

y ' π / 3 = - C 1 sen ⁡ π 3 + C 2 cos ⁡ π 3 = - 3 2 C 1 + 1 2 C 2 = - 4

Ou seja

1 2 C 1 + 3 2 C 2 = 2 - 3 2 C 1 + 1 2 C 2 = - 4

Assim temos que C 1 = 1 + 2 3 e C 2 = 3 - 2 e nossa solução geral é dada por

y t = 1 + 2 3 cos ⁡ t + 3 - 2 sen ⁡ t

O que temos é uma função que oscila em torno de t . Se aumentarmos o valores de t , teremos que y oscila. Logo temos um “simples” oscilador harmônico.

Resposta

y t = 1 + 2 3 cos ⁡ t + 3 - 2 sen ⁡ t

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