Enunciado

Em cada um dos problemas de 17 a 22, encontre a solução do problema de valor inicial. Esboçe o gráfico da solução e descreva seu comportamento para valores cada vez maiores de t .

y ' ' + 4 y = 0 ,               y 0 = 0 ,         y ' 0 = 1

Passo 1

O começo da nossa seção 3.3, temos uma equação geral dada por a y ' ' + b y ' + c y = 0 , onde a , b e c são números reais. Supondo como solução y = e r t , é possível descrever a nossa solução geral.

Passo 2

Usando a ideia do passo 1, temos que

y ' ' + 4 y = r 2 e r t + 4 r e r t = 0

Na qual temos que y ' ' = r 2 e r t .

Assim temos nossa equação característica dada por

r 2 + 4 = 0

Agora só precisamos resolver nossa equação de segundo grau. Lembra de Baskara? Tem gente que acha que não serve pra nada hahaha. Resolvendo nossa equação chegamos em

r = ± 2 i

Tendo como solução

y = c 1 e 2 i t + c 2 e - 2 i t

Outra forma de escrevermos nossa solução é utilizando uma transformação pela fórmula de Euler e tomar

y = ( C 1 cos ⁡ 2 t + C 2   s e n   2 t )

Perceba que C 1 e C 2 são diferentes de c 1 e c 2 .

Passo 3

Uma vez que encontramos a nossa solução, podemos agora resolver nosso problema de valor inicial. Assim teremos que

y 0 = C 1 cos ⁡ 0 + C 2   s e n   0 = C 1 = 0

E

y ' = 2 C 2 cos ⁡ 2 t → y ' 0 = 2 C 2 cos ⁡ 0 = 2 C 2 = 1 → C 2 = 1 / 2

Assim temos que nossa solução é

y t = s e n   2 t 2

O que temos é uma função que oscila em torno de t . Se aumentarmos o valores de t , teremos que y sempre estará entre - 1 / 2   e 1 / 2 .

Resposta

y t = s e n   2 t 2

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