Enunciado

Em cada um dos problemas de 7 a 16, encontre a solução geral da equação diferencial dada.

y ' ' + y ' + 1,25 y = 0

Passo 1

O começo da nossa seção 3.3, temos uma equação geral dada por a y ' ' + b y ' + c y = 0 , onde a , b e c são números reais. Supondo como solução y = e r t , é possível descrever a nossa solução geral.

Passo 2

Primeiro fazendo uma pequena transformação, tome que

y ' ' + y ' + 1,25 y = y ' ' + y + 5 4 y = 0

Usando a ideia do passo 1, temos que

y ' ' + y + 5 4 y = r 2 e r t + r e r t + 5 4 e r t = 0

Na qual temos que y ' ' = r 2 e r t e y ' = r e r t

Assim temos nossa equação característica dada por

r 2 + r + 5 4 = 0

Agora só precisamos resolver nossa equação de segundo grau. Lembra de Baskara? Tem gente que acha que não serve pra nada hahaha. Resolvendo nossa equação chegamos em

r = - 1 2 ± i

Tendo como solução

y = c 1 e 1 / 2   + i t + c 2 e - 1 / 2 - i t = e - t 2 ( c 1 e i t + c 2 e - i t )

Outra forma de escrevermos nossa solução é utilizando uma transformação pela fórmula de Euler e tomar

y = e - t / 2 ( C 1 cos ⁡ t + C 2   s e n   t )

Perceba que C 1 e C 2 são diferentes de c 1 e c 2 .

Resposta

y = e - t / 2 ( C 1 cos ⁡ t + C 2   s e n   t )

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Equações de Euler. Uma equação da forma t 2 d 2 y d t 2 + α t d y d t + β y = 0 , t0 . em que α e β são constantes reais, é chamada de equação de Euler.Seja x = ln ⁡ t e calcule d y / d t e d 2 y / d