Enunciado

Em cada um dos problemas de 17 a 22, encontre a solução do problema de valor inicial. Esboçe o gráfico da solução e descreva seu comportamento para valores cada vez maiores de t .

y ' ' + 2 y + 2 y = 0 ,               y π / 4 = 2 ,         y ' π / 4 = - 2

Passo 1

O começo da nossa seção 3.3, temos uma equação geral dada por a y ' ' + b y ' + c y = 0 , onde a , b e c são números reais. Supondo como solução y = e r t , é possível descrever a nossa solução geral.

Passo 2

Usando a ideia do passo 1, temos que

y ' ' + 2 y + 2 y = r 2 e r t + 2 r e r t + 2 e r t = 0

Na qual temos que y ' ' = r 2 e r t e y ' = r e r t .

Assim temos nossa equação característica dada por

r 2 + 2 r + 2 = 0

Agora só precisamos resolver nossa equação de segundo grau. Lembra de Baskara? Tem gente que acha que não serve pra nada hahaha. Resolvendo nossa equação chegamos em

r = - 1 ± i

Tendo como solução

y = e - t c 1 e i t + c 2 e - i t

Passo 3

Uma vez que encontramos a nossa solução, podemos agora resolver nosso problema de valor inicial. Assim teremos que

y t = e - t c 1 e i t + c 2 e - i t = c 1 e - t ( 1 - i ) + c 2 e - t 1 + i

E

y ' t = - 1 - i c 1 e - t 1 - i - 1 + i c 2 e - t 1 + i

Agora aplicando as condições iniciais

y π 4 = c 1 e - - π 4 1 - i + c 2 e - - π 4 1 + i = 2

E temos também que

y ' π / 4 =   - c 1 e - - π 4 1 - i + c 2 e - - π 4 1 + i + i c 1 e - - π 4 1 - i - c 2 e - - π 4 1 + i = - 2

Implicando que

c 1 e - π 4 1 - i - c 2 e - π 4 1 + i = 0

Assim temos

c 1 e - - π 4 1 - i + c 2 e - - π 4 1 + i = 2 c 1 e - - π 4 1 - i - c 2 e - - π 4 1 + i = 0

Somando e subtraindo temos que c 1 = e π 4 1 - i e c 2 = e π 4 1 + i

Desta forma chegamos em

y ( t ) = e π 4 - t e i π 4 - t + e - i π 4 - t

Pelas relações de Euler, temos que

y t = e π 4 - t 2 cos ⁡ π 4 - t

E usando nossas relações trigonométricas, temos

y t = 2 e π 4 - t cos ⁡ π 4 cos ⁡ t + s e n π 4   s e n   t =

y t = e π 4 - t 2 cos ⁡ t + s e n   t

O que temos é uma função que oscila em torno de t . Se aumentarmos o valores de t , teremos que y decai. Logo temos um oscilador amortecido.

Resposta

y t = e π 4 - t 2 cos ⁡ t + s e n   t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Em cada um dos problemas de 1 a 14, encontre a solução geral da equação diferencial dada. y ' ' + y ' = 3 sen ⁡ 2 t + t cos ⁡ 2 t
Em cada um dos problemas de 21 a 28:Determine uma forma adequada para Y(t) para usar o método dos coeficientes indeterminados. Use um sistema de álgebra computacional para encontrar uma solução partic
Em cada um dos Problemas de 36 a 39, use o método do Problema 35 para resolver a equação diferencial dada. y ' ' - 3 y ' - 4 y = 3 e 2 t