Enunciado

Em cada um dos Problemas de 36 a 39, use o método do Problema 35 para resolver a equação diferencial dada.

y ' ' - 3 y ' - 4 y = 3 e 2 t

Passo 1

Primeiro, encontraremos a solução para a equação característica:

y ' ' - 3 y ' - 4 y = 3 e 2 t

Analisando a parte homogênea temos:

y ' ' - 3 y ' - 4 y = 0

Reescrevendo:

r 2 - 3 r - 4 = 0

( r + 1 ) ( r - 4 )

r 1 = 4

r 2 = - 1

Podemos escrever a solução homogênea como:

y c = c 1 e 4 t + c 2 e - t

Passo 2

De acordo com o problema 35, a equação na forma y ' ' + b y ' + c y = g ( t ) pode ser reescrita como D - r 1 D - r 2 y = g ( t ) , se r 1 + r 2 = - b e r 1 r 2 = c .

A solução da equação pode ser resolvida com duas equações de primeira ordem:

D - r 1 u = g t ,       D - r 2 y = u ( t )

Se b = - 3 ,   c = - 4 ,   g t = 3 e 2 t

Então: r 1 + r 2 = 3 ,   r 1 r 2 = - 4

Resolvendo as duas equações simultaneamente, podemos dizer que :

r 1 = - 1 ,   r 2 = 4

Agora, vamos resolver primeiro a equação de primeira ordem:

D - r 1 u = g t

D + 1 u = 3 e 2 t

d u d t + u = 3 e 2 t

Integrando podemos ter que, onde p t = 1 que é uma das raizes :

μ t = e ∫ p t d t = e ∫ d t = e t

Multiplicando a equação pelo fator integrante.

d u d t e t + u e t = 3 e 3 t

Isolando:

u e t ' = 3 e 3 t

Integrando de ambos os lados:

u e t = e 3 t

u = e 2 t

Passo 3

Agora, resolvemos a outra equação:

D - r 2 y = u t

D - 4 y = e 2 t

d y d t - 4 y = e 2 t

Onde p t = - 4 que é a outra raiz, resolvendo a equação pelo fator integrante :

μ t = e ∫ p t d t = e ∫ - 4 d t = e - 4 t

Multiplicando a equação pelo fator integrante, temos:

d y d t e - 4 t - 4 y e - 4 t = e - 2 t

y e - 4 t ' = e - 2 t

Integrando dos dois lados:

y e - 4 t = - 1 2 e - 2 t

Y t = - 1 2 e 2 t

A solução y = y c + Y ( t ) :

y = c 1 e 4 t + c 2 e - t - 1 2 e 2 t

Resposta

y = c 1 e 4 t + c 2 e - t - 1 2 e 2 t

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