Enunciado

7. Encontre a solução u r ,   θ da equação de Laplace no setor circular 0 < r < a , 0 < θ < α , que satisfaz as condições de contorno

u r ,   0 = 0 ,       u r ,   α = 0 ,           0 ≤ r < a

u a ,   θ = f θ ,           0 ≤ θ ≤ α

Suponha que u está bem definida e é limitada no setor e que 0 < α < 2 π .

Passo 1

Enunciando a Equação de Laplace em coordenadas polares:

r 2 ∂ 2 u ∂ r 2 + r ∂ u ∂ r + ∂ 2 u ∂ θ 2 = 0

Fazendo a separação de variáveis:

u r , θ = R r Θ θ

Substituindo na equação e utilizando notação conveniente:

r 2 R ' ' Θ + r R ' Θ + R Θ ' ' = 0

Passo 2

Agrupando termos:

Θ r 2 R ' ' + r R ' = - R Θ ' '

E isolando:

r 2 R ' ' + r R ' R = - Θ ' ' Θ

Igualando ambas as expressões a uma constante λ arbitrária:

r 2 R ' ' + r R ' R = λ → r 2 R ' ' + r R ' - λ R = 0

- Θ ' ' Θ = λ → Θ ' ' + λ Θ = 0

Passo 3

E separando também as condições iniciais:

u r , 0 = u r , α = 0

R r Θ 0 = R r Θ α = 0

Como a solução R r = 0 é trivial, nós a descartamos. Portanto segue que:

Θ 0 = Θ α = 0

Juntando estes valores com a equação em θ obtemos:

Θ ' ' + λ Θ = 0 Θ 0 = Θ α = 0

Passo 4

Para resolver a equação em θ precisamos considerar as possíveis faixas de valores de λ . Testando:

λ = 0 → Θ ' ' = 0

Θ = a θ + b

Substituindo os valores das condições: Θ 0 = b = 0

Θ α = a α = 0

Como α > 0 ... Portanto temos a solução trivial:

Θ θ = 0

Passo 5

Tentando λ > 0 , fazemos:

λ = μ 2

Para garantir que lambda seja positivo. Além disso, vamos substituir uma solução da forma:

Θ θ = e k θ

E achar o k . Plugando na EDO:

e k θ ' ' + μ 2 e k θ = 0

k 2 e k θ + μ 2 e k θ = 0

e k θ k 2 + μ 2 = 0 → k 2 + μ 2 = 0

k = ± i μ

Passo 6

Ou seja, como a equação característica tem raízes complexas, temos que as soluções são da forma:

A 1 e i μ θ + A 2 e - i μ θ ≡ c 1 cos ⁡ μ θ + c 2 sen ⁡ μ θ

Naturalmente vamos utilizar a forma da direita por ser mais simples. Substituindo os valores vamos tentar descobrir as constantes:

Θ 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 = 0

Θ 0 = c 1 = 0

Show de bola. A função fica:

Θ θ = c 2 sen ⁡ μ θ

Agora substituindo a outra:

Θ α = c 2 sen ⁡ μ α = 0

Passo 7

Agora vejamos, para não cair na solução trivial de novo ( c 2 = 0 ), podemos buscar quais μ resolvem a equação acima. O que equivale à resolver:

sen ⁡ x = 0

Que tem solução:

x = n π

Portanto, como só nos interessa λ > 0 :

μ α = n π ,       α ∈ Z +

μ = n π α ,       α ∈ Z +

Passo 8

Portanto a nossa solução geral fica:

Θ θ = ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ n π α θ

Testando a gora a última faixa de valores possíveis λ < 0 , fazemos:

λ = - μ 2

Temos que a nossa equação característica fica:

k 2 - μ 2 = 0 → k = ± μ

Que resulta em:

Θ θ = a 1 e μ θ + a 2 e - μ θ

Como essa função não é periódica em θ podemos descartar. Daria no mesmo substituir os valores e chegar na solução trivial:

Θ 0 = a 1 + a 2 = 0

Θ π = a 1 e μ π + a 2 e - μ π = 0

Resolvendo obtemos a 1 = a 2 = 0 . Portanto só existem soluções não triviais para λ > 0 .

Passo 9

Seguindo, podemos voltar à resolver a equação em r . Fazendo λ = μ 2 :

r 2 R ' ' + r R ' - μ 2 R = 0

Supomos uma solução da forma; R r = r p ,       p ∈ R

Substituindo:

r 2 r p ' ' + r r p ' - μ 2 r p = 0

Temos:

p p - 1 r p + p r p - μ 2 r p = 0

Pondo em evidência:

r p p 2 - p + p - μ 2 = 0

r p p 2 - μ 2 = 0

Como r p ≠ 0 para todo p ∈ R , temos que:

p 2 - μ 2 = 0 → p = ± μ

Ou seja, a solução geral é:

R r = b 1 r μ + b 2 r - μ

Passo 10

Agora o papo é analisar essa função na região estudada. Como a região é tal que:

r ∈ 0 , a

θ ∈ 0 , α

Então precisamos garantir que dentro dela a função R r seja limitada, ou seja, não exploda para infinito. Como temos que:

lim r → 0 ⁡ r - μ = ∞

Concluímos que:

b 2 = 0

Portanto a solução é:

R r = b 1 r μ

Plugando na solução mais geral, sabendo que μ = k :

u r , θ = ∑ k = 1 ∞ c k r k sen ⁡ k π α θ

Passo 11

Falta nós determinarmos os coeficientes c k . Sabemos que, pelo enunciado, a informação que ficou sobrando é:

u a , θ = f θ

Que significa:

∑ k = 1 ∞ c k a k sen ⁡ k π α θ = f θ

Podemos ver que à esquerda temos uma série de Fourier para a função f , portanto os coeficientes são determinados pela fórmula:

a k c k = 2 P ∫ 0 P f θ sen ⁡ 2 π P ⋅ k π α θ d θ

Onde P é o período da função. Como sabemos que, por estar num semicírculo, ela deve ser π -periódica, temos:

P = π

a k c k = 2 P ∫ 0 P f θ sen ⁡ 2 k π α θ d θ

Resposta

u r , θ = ∑ k = 1 ∞ c k r k sen ⁡ k π α θ

a k c k = 2 P ∫ 0 P f θ sen ⁡ 2 k π α θ d θ

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