Enunciado

Em cada um dos problemas de 5 a 18:

(a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.

(b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.

(c) Encontre os autovalores de cada sistema linear. O que você pode concluir sobre o sistema não linear?

(d) Desenhe um retrato de fase do sistema não linear para confirmar suas conclusões, ou para estendê-las nos casos em que o sistema linear não fornece informações definidas sobre o sistema não linear.

11. d x / d t = 2 x + y + x y 3 ,         d y / d t = x - 2 y - x y

12. d x / d t = 1 + x sin ⁡ y ,         d y / d t = 1 - x - cos ⁡ y

13. d x / d t = x - y 2 ,         d y / d t = y - x 2

Passo 1

L e t r a   A :

Primeiro devemos encontrar os pontos crítico desse sistema de EDO:

d x d t = x - y 2 ,       d y d t = y - x 2     →

Ponto crítico acontece quando a derivada é 0 , ou seja:

0 = x - y 2 ,       0 = y - x 2    

Isolando y na segunda equação:

y = x 2

E substituindo na primeira:

0 = x - x 2 2       →

- x 4 + x = 0       →

x 1 - x 3 = 0       →

x = 0             o u               x 3 = 1 →       x = 1

Então...

y = x 2         →               x = 0       →         y = 0

y = x 2         →               x = 1       →         y = 1

Resumindo: temos dois pontos críticos:

0 ,   0           e             1 ,   1

Passo 2

L e t r a   B :  

A primeira coisa para determinar um sistema linear próximo a um ponto crítico é pegar a o sistema que estamos trabalhando:

d x d t = x - y 2 ,       d y d t = y - x 2       →

E chamar...

F x ,   y = x - y 2         e                 G x ,   y = y - x 2    

Agora, dessas duas funções aí, F e G , devemos extrair a matriz Jacobiana dada por:

J x ,   y = F x F y G x G y

Calculando essas derivadas parciais então...

J x ,   y = 1 - 2 y - 2 x 1

Beleza! Agora temos que substituir os nossos pontos críticos. Como são dois, vou fazer isso em dois passos extras, ok?

Passo 3

Primero o do ponto 0 ,   0 , isto é:

J x ,   y = 1 - 2 y - 2 x 1   →

J 0 ,   0 = 1 0 0 1  

De acordo com a teoria, o sistema de EDO linear que aproxima a não linear nesse caso é:

x ' y ' = 1 0 0 1 x - 0 y - 0

Onde x ' é o d x / d t e y ' o d y / d t .

Passo 4

Agora vamos fazer o mesmo para o ponto 1 ,   1 :

J 1 ,   1 = 1 - 2 - 2 1

Então, o sistema linear de aproximação nesse caso é:

x ' y ' = 1 - 2 - 2 1 x - 1 y - 1

Passo 5

L e t r a   C :

Novamente, como temos dois pontos, teremos aqui que separar o cálculo para esses dois casos. Vamos começar descobrindo os autovalores associados a matriz do primeiro ponto crítico que achamos:

A = 1 0 0 1       →

det ⁡ A - λ I = det ⁡ 1 - λ 0 0 1 - λ =

Aqui é tranquilo, podemos encontrar esses valores de λ na mão resolvendo esse determinante:

1 - λ 2 = 0       →

λ 1 = 1             e               λ 2 = 1

Observando a tabela 9.3.1 do nosso querido Boyce, concluímos que o sistema não linear, pelo menos próximo a ao ponto crítico é Instável!

Passo 6

Para o segundo caso, onde temos essa matriz de coeficientes aqui:

A = 1 - 2 - 2 1

Determinando...

det ⁡ A - λ I = det ⁡ 1 - λ - 2 - 2 1 - λ =

1 - λ 2 - 4 = 0       →

1 - λ 2 = 4       →

1 - λ = ± 4         →

λ 1 = 3               e               λ 2 = - 1

Observando a tabela novamente descobrimos que esse deve ser um ponto de sela e a EDO alí tem um comportamento instável!

Passo 7

L e t r a   D :

Nesse caso, para desenhar o retrato de fase da nossa EDO, também usaremos o WolframAlpha simplesmente copiando a equação

d x / d t = x - y 2 ,         d y / d t = y - x 2

E apertando Enter. Gerando esse retrato de fase aqui:

Repare que de fato próximo do x = 0 e y = 0 temos uma instabilidade enquanto em relação ao ponto 1 ,   1 , trata-se de um ponto de instabilidade e ele é de fato um ponto de sela

Resposta

Letra A: 0 ,   0           e             1 ,   1

Letra B:

x ' y ' = 1 0 0 1 x - 0 y - 0                   e                   x ' y ' = 1 - 2 - 2 1 x - 1 y - 1

Letra C:

λ 1 = 1   ,   λ 2 = 1             e               λ 1 = 3   ,   λ 2 = - 1

Letra D:

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Em cada um dos problemas de 5 a 18:(a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.(b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.(c) Encontre os autovalor
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