Enunciado

Em cada um dos problemas de 5 a 18:

(a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.

(b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.

(c) Encontre os autovalores de cada sistema linear. O que você pode concluir sobre o sistema não linear?

(d) Desenhe um retrato de fase do sistema não linear para confirmar suas conclusões, ou para estendê-las nos casos em que o sistema linear não fornece informações definidas sobre o sistema não linear.

5)

d x d t = 2 + x y - x ,     d y d t = 4 - x y + x

Passo 1

Primeiramente iremos , formar a matriz de Jacobian, e aplicar os pontos críticos a ela fazer a analise necessária .

b)Primeiramente note que:

F x , y = 2 + x y - x

E

G x , y = 4 - x y + x

Aplicando a matriz de Jacobian no campo de vetores temos:

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = - 2 - 2 x + y 2 + x 4 - y - 2 x 4 - x

Passo 2

Aplicando o ponto de origem, 0,0 , para obtermos a matriz linear do sistema:

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = - 2 - 2 ∙ 0 + 0 2 + 0 4 - 0 - 2 ∙ 0 4 - 0

J 0,0 = - 2 2 4 4

Passo 3

Aplicando para o ponto crítico (-2,2):

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = - 2 - 2 ∙ ( - 2 ) + 2 2 - 2 4 - 2 + 2 ∙ 2 4 + 2

J - 2,2 = 4 0 6 6

Passo 4

Aplicando para o ponto crítico (4,4):

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = - 2 - 2 ∙ 4 + 4 2 + 4 4 - 4 - 2 ∙ 4 4 - 4

J 4,4 = - 6 6 - 8 0

Resposta

J 0,0 = - 2 2 4 4

J - 2,2 = 4 0 6 6

J 4,4 = - 6 6 - 8 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Desenhe um campo de direções e descreva como as soluções parecem se comportar.
Para cada ponto crítico, encontre o sistema linear correspondente. Encontre os autovalores e autovetores do sistema linear; classifique cada ponto crítico em relação ao tipo e determine se é assintoti
Desenhe um campo de direções e descreva como as soluções parecem se comportar.
Encontre os pontos críticos.
Desenhe um campo de direções e descreva como as soluções parecem se comportar.