Enunciado

Em cada um dos problemas de 5 a 18:

(a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.

(b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.

(c) Encontre os autovalores de cada sistema linear. O que você pode concluir sobre o sistema não linear?

(d) Desenhe um retrato de fase do sistema não linear para confirmar suas conclusões, ou para estendê-las nos casos em que o sistema linear não fornece informações definidas sobre o sistema não linear.

5)

d x d t = 2 + x y - x ,     d y d t = 4 - x y + x

Passo 1

Temos a resposta da letra b, portanto vamos executar e encontrar os autovalores para cada matriz e fazer sua analise.

c)

J 0,0 = - 2 2 4 4

Determinado agora as raízes características:

det ⁡ J - r I = - 2 2 4 4 - r 0 0 r

d e t J - r I = - 2 - r 2 4 4 - r

Efetuando o determinante temos:

r 2 - 2 r - 16

Tendo as razies características como:

r 1 = 1 - 17 ,       r 2 = 1 + 17

Note que este autovalores são reais, com sinal positivo. Consequentemente o ponto critico é uma sela, oque resulta em instabilidade para o ponto de origem. Sobe o ponto (-2,2) o coeficiente da matriz é localmente linear.

Passo 2

J - 2,2 = 4 0 6 6

Determinado agora as raízes características:

det ⁡ J - r I = 4 0 6 6 - r 0 0 r

d e t J - r I = 4 - r 0 6 6 - r

Efetuando o determinante temos:

r 2 - 10 r + 24

Tendo as razies características como:

r 1 = 4 ,     r 2 = 6

Temos os autovalores reais, diferentes e positivos. Consequentemente o ponto é instável no nó. Sobe ponto 4,4 o coeficiente da matriz é localmente linear.

Passo 3

J 4,4 = - 6 6 - 8 0

Determinado agora as raízes características:

det ⁡ J - r I = - 6 6 - 8 0 - r 0 0 r

d e t J - r I = - 6 - r 6 - 8 - r

Efetuando o determinante temos:

r 2 + 6 r + 48

Tendo as razies características como:

r 1,2 = - 3 ± i 39

Temos autovalores complexos. Ocorrendo que o ponto critico é uma espiral estável, oque é assintoticamente estável.

Resposta

Note que este autovalores são reais, com sinal positivo. Consequentemente o ponto critico é uma sela, oque resulta em instabilidade para o ponto de origem. Sobe o ponto (-2,2) o coeficiente da matriz é localmente linear.

Temos os autovalores reais, diferentes e positivos. Consequentemente o ponto é instável no nó. Sobe ponto 4,4 o coeficiente da matriz é localmente linear.

Temos autovalores complexos. Ocorrendo que o ponto critico é uma espiral estável, oque é assintoticamente estável.

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