Enunciado

Em cada um dos problemas de 5 a 18:

(a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.

(b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.

(c) Encontre os autovalores de cada sistema linear. O que você pode concluir sobre o sistema não linear?

(d) Desenhe um retrato de fase do sistema não linear para confirmar suas conclusões, ou para estendê-las nos casos em que o sistema linear não fornece informações definidas sobre o sistema não linear.

6)

d x d t = x - x 2 - x y ,   d y d t = 3 y - x y - 2 y 2

Passo 1

a) Bem vamos lá, para determinar todos os pontos críticos, temos que resolver o sistema de equação igual a zero. Em outras palavras d x d t = 0 , d y d t = 0 e resolve os dois sistemas lineares.

x - x 2 - x y = x ∙ 1 - x - y = 0                           1

E a outra equação temos:

3 y - x y - 2 y 2 = y ∙ 3 - x - 2 y = 0           2

Da primeira equação colocamos x = 0 , e teremos na equação (2) que:

3 y - 2 y 2 = 0

Portanto:

y = 0

Ou

y = 3 2

Teremos então os dois pontos críticos, ( 0,0 )   e ( 0   , 3 / 2 ) .

Colocando x = 1 - y da primeira equação e substituindo na segunda teremos:

Os pontos críticos:

1,0   e   - 1,2

Resposta

a)

0,0 ; 0 , 3 2 ; 1,0 ; - 1,2

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