Enunciado

Em cada um dos problemas de 5 a 18:

(a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.

(b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.

(c) Encontre os autovalores de cada sistema linear. O que você pode concluir sobre o sistema não linear?

(d) Desenhe um retrato de fase do sistema não linear para confirmar suas conclusões, ou para estendê-las nos casos em que o sistema linear não fornece informações definidas sobre o sistema não linear.

6)

d x d t = x - x 2 - x y ,   d y d t = 3 y - x y - 2 y 2

Passo 1

Primeiramente iremos , formar a matriz de Jacobian, e aplicar os pontos críticos a ela fazer a analise necessária .

b)Primeiramente note que:

F x , y = x - x 2 - x y

E

G x , y = 3 y - x y - 2 y 2

Aplicando a matriz de Jacobian no campo de vetores temos:

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = 1 - 2 x - y - x - y 3 - x - 4 y

Passo 2

Aplicando o ponto de origem, 0,0 , para obtermos a matriz linear do sistema:

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = 1 - 2 ∙ 0 - 0 - 0 - 0 3 - 0 - 4 ∙ 0

J 0,0 = 1 0 0 3

Passo 3

Aplicando para o ponto crítico (0,1.5):

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = 1 - 2 ∙ 0 - 1,5 0 - 1,5 3 - 0 - 4 ∙ 1,5

J 0 , 3 / 2 = - 0,5 0 - 1,5 - 3

Passo 4

Aplicando para o ponto crítico (1,0):

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = 1 - 2 ∙ 1 - 0 - 1 - 0 3 - 1 - 4 ∙ 0

J 1,0 = - 1 - 1 0 - 2

Passo 5

Aplicando para o ponto crítico (-1,2):

J = F x x , y F y x , y G x x , y G y x , y = 1 - 2 ∙ - 1 - 2 - ( - 1 ) - 2 3 - ( - 1 ) - 4 ∙ 2

J - 1 , 2 = 1 1 - 2 - 4

Resposta

J 0,0 = 1 0 0 3

J 0,3 / 2 = - 0,5 0 - 1,5 - 3

J 1,0 = - 1 - 1 0 - 2

J - 1,2 = 1 1 - 2 - 4

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