Enunciado

Em cada um dos problemas de 5 a 18:

(a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.

(b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.

(c) Encontre os autovalores de cada sistema linear. O que você pode concluir sobre o sistema não linear?

(d) Desenhe um retrato de fase do sistema não linear para confirmar suas conclusões, ou para estendê-las nos casos em que o sistema linear não fornece informações definidas sobre o sistema não linear.

7)

d x d t = 1 - y ,   d y d t = x 2 - y 2

Passo 1

Temos a resposta da letra b, portanto vamos executar e encontrar os autovalores para cada matriz e fazer sua analise.

c)

J 1,1 = 0 - 1 2 - 2

Determinado agora as raízes características:

det ⁡ J - r I = 0 - 1 2 - 2 - r 0 0 r

d e t J - r I = - r - 1 2 - 2 - r

Efetuando o determinante temos:

r 2 + 2 r + 2

Tendo as razies características como:

r 1 , 2 = - 1 ± i

Os autovalores a cima são complexos e com a parte real negativa. Portanto, nos temos uma espiral no ponto, oque resulta para o sistema assintoticamente estável.

Passo 2

J - 1,1 = 0 - 1 - 2 - 2

Determinado agora as raízes características:

det ⁡ J - r I = 0 - 1 - 2 - 2 - r 0 0 r

d e t J - r I = - r - 1 - 2 - 2 - r

Efetuando o determinante temos:

r 2 + 2 r - 2

Tendo as razies características como:

r 1 = - 1 + 3 ,     r 2 = - 1 - 3

Temos autovalores reais de sinais diferentes. Portanto, nós temos uma sela no ponto, oque resulta no sistema instabilidade.

Resposta

Os autovalores a cima são complexos e com a parte real negativa. Portanto, nos temos uma espiral no ponto, oque resulta para o sistema assintoticamente estável.

Temos autovalores reais de sinais diferentes. Portanto, nós temos uma sela no ponto, oque resulta no sistema instabilidade.

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