Enunciado

Em cada um dos problemas de 5 a 18:

(a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.

(b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.

(c) Encontre os autovalores de cada sistema linear. O que você pode concluir sobre o sistema não linear?

(d) Desenhe um retrato de fase do sistema não linear para confirmar suas conclusões, ou para estendê-las nos casos em que o sistema linear não fornece informações definidas sobre o sistema não linear.

9)

d x d t = ( 2 + y ) ( y - 0,5 x ) ,     d y d t = 2 - x y + 0,5 x  

Passo 1

Temos a resposta da letra b, portanto vamos executar e encontrar os autovalores para cada matriz e fazer sua analise.

c)

J 2 , - 2 = 0 - 3 1 0

Determinado agora as raízes características:

det ⁡ J - r I = 0 - 3 1 0 - r 0 0 r

d e t J - r I = - r - 3 1 - r

Efetuando o determinante temos:

r 2 + 3

Tendo as razies características como:

r 1 = 3 i ,       r 2 = 3 i

Os autovalores complexos . Portanto, temos um centro ou uma espiral no ponto, oque é indeterminado sua estabilidade.

Passo 2

J 4 , - 2 = 0 - 4 - 1 - 2

Determinado agora as raízes características:

det ⁡ J - r I = 0 - 4 - 1 - 2 - r 0 0 r

d e t J - r I = - r - 4 - 1 - 2 - r

Efetuando o determinante temos:

r 2 + 2 r - 4

Tendo as razies características como:

r 1 = - 1 + 5 i   ,     r 2 = - 1 - 5 i  

Os autovalores complexos e com a parte real negativa . Portanto, temos uma sela no ponto com que é instável.

Passo 3

J 0,0 = - 1 2 1 2

Determinado agora as raízes características:

det ⁡ J - r I = - 1 2 1 2 - r 0 0 r

d e t J - r I = - 1 - r 2 1 2 - r

Efetuando o determinante temos:

r 2 - r - 4

Tendo as razies características como:

r 1 = 1 + 17 2 ,       r 2 = 1 + 17 2

Temos autovalores reais e com sinais diferentes. Portanto, temos uma espiral no ponto, oque resulta em um sistema assintoticamente estável.

Passo 4

J 2,1 = - 1 / 2 3 - 2 2

Determinado agora as raízes características:

det ⁡ J - r I = - 1 / 2 3 - 2 2 - r 0 0 r

d e t J - r I = - 1 2 - r 3 - 2 2 - r

Efetuando o determinante temos:

2 r 2 - 3 r + 10 2

Tendo as razies características como:

r 1 = - 3 + 8 7 i 4 ,       r 2 = - 3 - 87 i 4

Os dois autovalores são complexos e com sua parte real negativa. Portanto, nós temos uma espiral no ponto oque é assintoticamente estável.

Resposta

Os autovalores complexos . Portanto, temos um centro ou uma espiral no ponto, oque é indeterminado sua estabilidade.

Os autovalores complexos e com a parte real negativa . Portanto, temos uma sela no ponto com que é instável.

Temos autovalores reais e com sinais diferentes. Portanto, temos uma espiral no ponto, oque resulta em um sistema assintoticamente estável.

Os dois autovalores são complexos e com sua parte real negativa. Portanto, nós temos uma espiral no ponto oque é assintoticamente estável.

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