Enunciado

Em cada um dos problemas de 9 a 20:

(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita.

(b) Desenhe o gráfico da solução.

(c) Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.

y '   = ( 3 x 2 -   e x ) ( 2 y   -   5 ) ,   y ( 0 )   = 1  

Passo 1

  1. A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem.

Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x   do outro lado. Antes, vamos substituir o y’ por d y d x .

Assim, temos:

d y d x = 3 x 2 -   e x 2 y - 5

2 y - 5 d y =   3 x 2 -   e x   d x

Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ 2 y - 5 d y =   ∫ 3 x 2 -   e x   d x

y 2 - 5 y + c = x 3 -   e x + c '

y 2 - 5 y = x 3 -   e x + C

No enunciado há uma informação de que   y ( 0 )   = 1   . Vamos escrever a seguir a solução final que encontramos da EDO.

y 2 - 5 y = x 3 -   e x + C

Ao substituir a informação encontramos o valor da constante C. Logo, temos:

1 2 - 5   .   1 = 0 3 -   e 0 + C

C   = - 3

Assim, a equação é:

y 2 + 5 y = x 3 -   e x - 3

y = 5 / 2 - x 3 -   e x + 13 / 4

Passo 2

b)

Passo 3

  1. Temos como equação final da EDO o seguinte:

y = 5 / 2 - x 3 -   e x + 13 / 4

Assim, o intervalo em que a solução são as raízes da equação, quando y é igual a zero e ela está definida é com:

- 1,4445 < x < 4,6297   (aproximadamente)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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