Enunciado

Se e r t é dado pela Eq.(13), mostre que e r 1 + r 2 t = e r 1 t e r 2 t , quaisquer que sejam os números complexos r 1 e r 2 .

Passo 1

A equação (13) é dado por

e λ - i u t = e λ t ( cos ⁡ μ t + i   s e n   μ t )

Passo 2

Seja r 1 e r 2 números complexos, então podemos escreve-los como r 1 = λ 1 + i μ 1 , r 2 = λ 2 + i μ 2

Então

r 1 + r 2 = λ 1 + λ 2 + i ( μ 1 + μ 2 )

Então temos que

e r 1 + r 2 t = e λ 1 + λ 2 t cos ⁡ μ 1 + μ 2 t + i   s e n   μ 1 + μ 2 t

Abrindo o nosso cosseno e seno, ficamos com

e λ 1 + λ 2 t cos ⁡ μ 1 t cos ⁡ μ 2 t + s e n   μ 1 t   s e n   μ 2 t + i s e n   μ 1 cos ⁡ μ 2 - s e n   μ 2 cos ⁡ μ 1  

e λ 1 + λ 2 t cos ⁡ μ 2 t cos ⁡ μ 1 t + i   s e n   μ 1 t - i s e n   μ 2 t cos ⁡ μ 1 + i   s e n   μ 1

Assim agora podemos colocar o termo cos ⁡ μ 1 t + i   s e n   μ 1 t em evidência, tendo então

e λ 1 + λ 2 t cos ⁡ μ 1 t + i   s e n   μ 1 t ⋅ cos ⁡ μ 2 t - i   s e n   μ 2 t

Agora podemos fazer

e λ 1 + λ 2 t = e λ 1 t e λ 2 t

Então assim

e λ 1 t e λ 2 t cos ⁡ μ 1 t + i   s e n   μ 1 t ⋅ cos ⁡ μ 2 t - i   s e n   μ 2 t =

e λ 1 t cos ⁡ μ 1 t + i   s e n   μ 1 t ⋅ e λ 2 cos ⁡ μ 2 t - i   s e n   μ 2 t

O que nos resume em

e λ 1 + i μ 1 t e λ 2 + i μ 2 t = e r 1 t e r 2 t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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