Enunciado

Em cada um dos problemas de 9 a 20:

(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita.

(b) Desenhe o gráfico da solução.

(c) Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.

x   d x   +   y   e - x   d y = 0 , y ( 0 ) = 1

Passo 1

  1. A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem.

Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x do outro lado.

Assim, temos:

x   d x   = -   y   e - x   d y

x e - x   d x   = -   y   d y

Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ x e - x   d x =   ∫ -   y   d y

( x   - 1 ) e x + c =   - y 2 2   +   c '  

( x   - 1 ) e x =   -   y 2 2   +   C

2 ( x   - 1 ) e x =   -   y 2   +   C

  y 2 = C - 2 x - 1 e x

y = C - 2 x - 1 e x

No enunciado há uma informação de que y ( 0 )   =   1   . Vamos escrever a seguir a solução final que encontramos da EDO.

y = C - 2 x - 1 e x

Ao substituir a informação encontramos o valor da constante C. Logo, temos:

1 = C   -   2   ( 0   -   1 )   e 0

C   = - 1

Assim, a equação é:

y = - 1 - 2 x - 1 e x

Passo 2

b)

Passo 3

  1. Temos como equação final da EDO o seguinte:

y = - 1 - 2 x - 1 e x

Assim, temos:

Para saber o intervalo, vamos calcular as raízes da equação, quando y for zero.

Assim, o intervalo em que a dolução está definida é com:

- 1 , 68   <   x   <   0,77 (valor aproximado)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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