Enunciado

29- Considere a equação

a y ' ' + b y ' + c y = 0

Em que a , b e c são constantes com a ≠ 0 . Foi mostrado, no Capítulo 3 , que a solução geral depende das raízes da equação característica

a r 2 + b r + c = 0

( a ) Transforme a Eq ( i ) em um sistema de equações de primeira ordem fazendo x 1 = y ,   x 2 = y ' . Encontre o sistema de equações x ' = A x satisfeito por x = x 1 x 2

( b ) Encontre a equação que determina os autovalores da matriz de coeficientes A no item ( a ) . Note que essa equação é, simplesmente, a equação característica ( i i ) da Eq ( i ) .

Passo 1

Como na letra a , x 1 = y e x 2 = y ' então x 2 ' = y ' ' então:

y ' ' = - b a y ' - c a y

Então substituindo:

x 2 ' = - b a x 2 - c a x 1

E

x 1 ' = y ' = x 2

Então já podemos colocar na base da matriz A da seguinte forma:

x 1 ' x 2 ' = 0 1 - c / a - b / a x 1 x 2

Passo 2

Como já encontramos a matriz A então a equação que determina os autovalores será:

det ⁡ A - r I = 0  

Logo:

det ⁡ 0 - r 1 - c a - b a - r = 0

Agora fazendo essa determinante nós teremos:

b a + r r + c a = 0

O que nos dá:

b r a + r 2 + c a = 0

a r 2 + b r + c a = 0

a r 2 + b r + c = 0

O que é uma coisa muito maravilhosa de simples hahaha

Resposta

a ) x 2 ' = - b a x 2 - c a x 1

x 1 ' = x 2  

b )   a r 2 + b r + c = 0

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