Enunciado

Em cada um dos problemas de 24 a 27, verifique se as funções y 1 e y 2 são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?

24. y ' ' + 4 y = 0 ,     y 1 t = c o s 2 t ,     y 2 t = s e n 2 t

Passo 1

Para verificarmos se as funções dadas na questão são soluções, precisamos substituir elas na equação e se o resultado satisfizer a equação, elas serão soluções, vamos primeiro derivar y 1 e substituir ela na equação:

y 1 ' ' = - 4 c o s 2 t

Substituindo y 1 e y 1 ' ' :

- 4 c o s 2 t + 4 c o s 2 t = 0

Dá para ver que y 1 satisfaz.

Passo 2

Agora para y 2 :

y 2 ' ' = - 4 s e n 2 t

Substituindo tudo:

- 4 s e n 2 t + 4 s e n 2 t = 0

Também satisfaz.

Passo 3

Para sabermos se essas duas soluções formam um conjunto fundamental, calculamos o wronskiano delas, se ele for diferente de zero, elas formam um conjunto:

W y 1 , y 2 = d e t y 1 y 1 ' y 2 y 2 ' = d e t c o s 2 t - 2 s e n 2 t s e n 2 t 2 c o s 2 t

Resolvendo o determinante:

W y 1 , y 2 = 2 cos 2 ⁡ 2 t + 2 s e n 2 2 t = 2

Como é diferente de zero, as soluções formam um conjunto fundamental.

Resposta

S i m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se W ( f , g ) é o wronskiano de f e g e se u = 2 f - g , v = f 2 g , encontre o wronskiano de u e v em função de W ( f , g ) .
Em cada um dos problemas 22 e 23, encontre o conjunto fundamental de soluções especificado pelo Teorema 3.2.5 para a equação diferencial e o ponto inicial dados.23. y ' ' + 4 y ' + 3 y = 0 , t 0 = 1 .
No método de Picard, a escolha inicial y 0 x = y 0 não é necessária. Refaça o Problema 3 com (a) y 0 x = k uma constante e k ≠ 1 e (b) y 0 x = x .
Nos Problemas 1-6, use o método de Picard para encontrar y 1 ,y 2 ,y 3,y 4 . Determine o limite da sequência { y n x } quando n → ∞ . y ' + y 2 = 0 , y 0 = 0
Nos problemas 15-22, determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes em - ∞ ,∞ .16. f 1 x = 0 ,f 2 x = x ,f 3 x = e x