Enunciado

Em cada um dos problemas 22 e 23, encontre o conjunto fundamental de soluções especificado pelo Teorema 3.2.5 para a equação diferencial e o ponto inicial dados.

22. y ' ' + y ' - 2 y = 0 , t 0 = 0 .

Passo 1

Primeiro precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial, ela vai ser do tipo:

y ( t ) = e r t

Substituindo na equação, junto com as derivadas dela:

r 2 e r t + r e r t - 2 e r t = 0

Dividimos os dois lados por e r t :

r 2 + r - 2 = 0

Passo 2

Então resolvemos a equação de segundo grau usando Bhaskara:

r = - 1 ± 1 + 8 2

r = - 1 ± 3 2

r 1 = 1

r 2 = - 2

Como as raízes são diferentes, a solução fica:

y t = c 1 e 1 t + c 2 e - 2 t

Passo 3

Agora precisamos ver se as duas exponenciais formam um conjunto fundamental de soluções, para isso, calculamos o wronskiano delas:

W e 2 t ,   e - 4 t = d e t e t e - 2 t e t - 2 e - 2 t

O determinante vai ser:

W e t ,   e - 2 t = e t - 2 e - 2 t - ( e - 2 t ) ( e t )

W e t ,   e - 2 t = - 2 e - t - e - t = - 3 e - t

Como W ≠ 0 então as funções formam um conjunto

Passo 4

Agora usamos o Teorema 3.2.5 que o enunciado diz, e então usamos as funções exponenciais para escrever o conjunto fundamental composto por 2 equações, y 1 e y 2 . Para encontrarmos as constantes c 1 e c 2 de cada uma delas, usamos a condição inicial t 0 = 0 dada no enunciado e igualamos as funções a zero e um e suas derivadas também (por conta do teorema), assim:

y 1 0 = c 1 e ( 0 ) + c 2 e - 2 ( 0 ) = c 1 + c 2 = 1

y 1 ' = c 1 e ( 0 ) - 2 c 2 e - 2 0 = c 1 - 2 c 2 = 0

y 2 0 = c 1 + c 2 = 0

y 2 ' 0 = c 1 - 2 c 2 = 1

Passo 5

As constantes de y 1 vão ser:

c 1 = 2 3

c 2 = 1 3

E de y 2 :

c 1 = 1 3

c 2 = - 1 3

Substituindo na solução geral para cada uma:

y 1 = 2 3 e t + 1 3 e - 2 t

y 2 = 1 3 e t - 1 3 e - 2 t

Esse será nosso conjunto geral de soluções.

Resposta

y 1 = 2 3 e t + 1 3 e - 2 t

y 2 = 1 3 e t - 1 3 e - 2 t

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Verifique se y 1 t = 1 e y 2 t = t 1 / 2 são soluções da equação diferencial y y ' ' + y ' 2 = 0 para t0 . Depois mostre que c 1 + c 2 t 1 / 2 não é, em geral, solução dessa equação. explique por que
Se o wronskiano de f e g é t c o s t - s e n t e se u = f + 3 g , v = f - g , encontre o wronskiano de u e v .
Se o wronskiano W de f e g é 3 e 4 t e se f t = e 2 t , encontre g ( t ) .
Suponha que y 1 e y 2 formem um conjunto fundamental de soluções de y ' ' + p t y ' + q t y = 0 e sejam y 3 = a 1 y 1 + a 2 y 2 , y 4 = b 1 y 1 + b 2 y 2 , em que a 1 , a 2 , b 1 e b 2 são constantes
Verifique se y 1 t = t 2 e y 2 t = t - 1 são duas soluções da equação diferencial t 2 y ' ' - 2 y = 0 para t0 . Depois mostre que c 1 t 2 + c 2 t - 1 também é solução essa equação quaisquer que sejam