Enunciado

Em cada um dos problemas de 42 a 45, use o resultado do Problema 41 para determinar se a equação dada é exata. Se for,resolva-a

x y ' ' - cos ⁡ x y ' + sin ⁡ x y = 0 ,     x > 0

Passo 1

Para resolvermos, vamos aplicar o resultado do exercício anterior para determinar se é exata ou não. Para conseguirmos aplicar essa forma, teremos que escrever a equação na forma

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

para identificarmos todos os nossos coeficientes. Se a condição de

P ' ' - Q ' + R = 0

For satisfeita, então nossa equação será exata.

Passo 2

Bom, vamos lá! Vemos que logo de principio nossa equação já está na forma que precisamos. Assim, temos que nossos coeficientes são:

P x = x

Q x = - cos ⁡ x

R x = sin ⁡ x

Aplicando na nossa equação, teremos que a mesma fica:

0 - sin ⁡ x + sin ⁡ x = 0

Ou seja, nossa equação é exata. Vamos resolve-lá então! Vemos que é possível escrever nossa equação da seguinte forma:

x y ' ' + sin ⁡ x - cos ⁡ x y ' = 0

Se integrarmos a primeira vez, teremos a seguinte equação:

x y ' + sin ⁡ x - cos ⁡ x y = c 1

Que é uma equação linear de primeira ordem. A mesma é resolvida por um fator integrante, dado por:

μ x = e - ∫ p x d x   = e - ∫ 1 x + cos ⁡ x x d x

Aplicando a forma já dada para a solução desse tipo de equações, temos que

y x = c 1 μ x ⋅ ∫ μ x ⋅ q x ⋅ d x + c 2

y x = c 1 e - ∫ 1 x + cos ⁡ x x d x ⋅ ∫ x 0 x e - ∫ 1 t + cos ⁡ t t d t ⋅ d t + c 2

Resposta

y x = c 1 e - ∫ 1 x + cos ⁡ x x d x ⋅ ∫ x 0 x e - ∫ 1 t + cos ⁡ t t d t ⋅ d t + c 2

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