Enunciado

Em cada um dos problemas de 29 a 32, encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial sem resolver a equação.

1 - x 2 ⋅ y ' ' - 2 ⋅ x ⋅ y ' + α ⋅ ( α + 1 ) ⋅ y = 0

Passo 1

Para resolvermos, vamos analisar e rearranjar a equação, quando necessário na forma

y ' ' + p x y ' + q t y = 0

onde poderemos utilizar a forma do wronskiano em que aparece a integral, escrito da seguinte forma

W = C ⋅ e - ∫ p x d t

Passo 2

Aplicando o método mostrado no passo 1, temos que não será necessário nem reorganizar nossa EDO, conseguimos identificar perfeitamente nosso p x = - 2 ⋅ x 1 - x 2 . Substituindo no wronskiano, temos então que:

W = C ⋅ e - ∫ - 2 ⋅ x 1 - x 2 d x

Aplicando a transformação u = 1 - x 2 , teremos que d u = - 2 ⋅ x . Substituindo na integral, teremos que

W = C ⋅ e - ∫ d u u d u = C ⋅ e - ln ⁡ u = C ⋅ u - 1 = C ⋅ 1 - x 2 - 1  

E esse é o nosso wronskiano a menos de uma constante

Resposta

W = C ⋅ 1 - x 2 - 1

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Se W ( f , g ) é o wronskiano de f e g e se u = 2 f - g , v = f 2 g , encontre o wronskiano de u e v em função de W ( f , g ) .
Em cada um dos problemas 22 e 23, encontre o conjunto fundamental de soluções especificado pelo Teorema 3.2.5 para a equação diferencial e o ponto inicial dados.23. y ' ' + 4 y ' + 3 y = 0 , t 0 = 1 .
No método de Picard, a escolha inicial y 0 x = y 0 não é necessária. Refaça o Problema 3 com (a) y 0 x = k uma constante e k ≠ 1 e (b) y 0 x = x .
Nos Problemas 1-6, use o método de Picard para encontrar y 1 ,y 2 ,y 3,y 4 . Determine o limite da sequência { y n x } quando n → ∞ . y ' + y 2 = 0 , y 0 = 0