Enunciado

Em cada um dos problemas de 48 a 51, resolva o problema de valor inicial dado usando os métodos dos problemas de 36 a 47.

y ' ' - 3 ⋅ y 2 = 0 ,     y 0 = 2 ,     y ' 0 = 4

Passo 1

Para resolvermos esse problema precisamos aplicar a substituição sugerida pelo enunciado. Após isso, vamos resolver a EDO de primeira ordem para v e então encontrar para y .

Passo 2

Primeiro vamos aplicar a substituição: chamando y ' = v y e y ' ' = d v d y d y d t = v ' y ⋅ v y , temos que nossa equação fica como:

v ' ⋅ v - 3 ⋅ y 2 = 0

d v d y ⋅ v = 3 ⋅ v 2

v ⋅ d v = 3 ⋅ y 2 ⋅ d y

Se integrarmos de ambos os lados, chegamos que:

v 2 2 = y 3 + k 1

Aplicando a primeira condição de contorno, temos que:

16 2 = 8 + k 1

8 = 8 + k 1

k 1 = 0

Temos então que nossa equação fica

v 2 2 = y 3

v = 2 ⋅ y 3

Utilizando a transformação novamente, temos que:

d y d t = y ' = v y = 2 ⋅ y 3

d y d t = 2 ⋅ y 3

1 y 3 ⋅ d y = 2 ⋅ d t

- 2 ⋅ y - 1 2 = 2 ⋅ t + k

Aplicando a condição de contorno, temos que:

- 2 ⋅ 1 2 = 0 + k

k = - 2

- 2 ⋅ y - 1 3 = 2 ⋅ t - 2

y = 2 ⋅ 1 - t - 2

Sendo essa nossa solução para a equação.

Resposta

y = 2 ⋅ 1 - t - 2

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