Enunciado

Ache a solução completa de

d y d x + 2 x y = y 4 x 4

Usando a solução de bernoulli

1 1 - n   d u d x + P x u = Q x

Sendo

u   = y 1 - n

Passo 1

Primeiro vou reescrever a equação

d u d x + 1 - n P x u = 1 - n Q x

Vamos fazer uma solução geral e depois plotamos os valores

Essa é uma equação não homogênea, então não temos como usar o truque de separar variáveis. O jeito mais fácil é resolver por Fator Integrante. (Se estiver com duvida como prosseguir, da uma olhadinha na teoria. Temos uma seção especial só falando de fator integrante )

Entao se tivermos uma equação no formato

d u d x + g ( x ) u = b ( x )

podemos usar um fator integrante μ x , definido por

μ x = e ∫ g x d x

Passo 2

No nosso caso b(x) = 1 - n Q x

g(x) = 1 - n P x

Assim :

μ x = e ∫ g x d x

μ x = e ∫ 1 - n P x d x

μ x = e ( 1 - n ) ∫ P x d x

Vamos Multiplicar nossa equação em ambos os lados por μ x

d u d x + 1 - n P x u = 1 - n Q x

μ x d u d x + μ x 1 - n P x   u = μ x 1 - n Q x

Da uma olhada no lado esquerdo e como ele parece uma regra da cadeia. Percebeu ?

d d x μ x . u =   μ x d u d x + u d μ x d x

Entao vamos reescrever nossa equação

μ x d u d x + μ x 1 - n P x   u = μ x 1 - n Q x

d d x μ x . u =   μ x 1 - n Q x

Agora vamos integrar dos dois lados :

∫ d d x μ x . u d x =   ∫ μ x 1 - n Q x   d x

μ x . u =   1 - n ∫ μ x 1 - n Q x   d x

u = 1 - n μ x   .   ∫ μ x 1 - n Q x   d x    

Pronto essa solução já é suficiente para a gente

Passo 3

Vamos reescrever o problema nos moldes da solução de Bernoulli

d y d x + 2 x y = y 4 x 4

N = 4

U   = y 1 - 4 = y - 3  

1 1 - 4   d u d x + 2 x u = 1 x 4

  d u d x - 6 x u = - 3 x 4

Entao agora temos

( 1 - n ) P x = - 6 x  

1 - n Q x = - 3 x 4

Já temos o suficiente para encontrarmos μ x

Lembra que   μ x = e ( 1 - n ) ∫ P x d x

Então

  μ x = e - 6 ∫ 1 x d x = e - 6 l n x

= x - 6

Vamos usar nossa solução inicial para encontrarmos os valores dessa equação

u = 1 - n μ x   .   ∫ μ x 1 - n Q x   d x    

= - 3 x - 6   .   ∫ x - 6 - 3 x 4   d x  

=     9 x 6   .   ∫ 1 x 10   d x

= 9 x 6 - 1 9 x - 9 + C  

Lembre-se que estamos fazendo uma integral indefinida, logo temos que acrescentar uma constante arbitraria C. Entao

u = - 1 x 3 + x 6 C #

Como C é uma constante arbitraria não muda nada multiplicar C por 9 , Entao Chamei de C #   Apenas para diferenciar. Mas podemos voltar chamar de C.

Sendo u   = y 1 - n   =   y - 3

y - 3 = -   1 x 3 + x 6 C

y = -   1 x 3 + x 6 C - 1 3  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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24. Use o método do exercício 23 para resolver a equação diferencial x y ' + y = - x y 2 .
Nos problemas 1-6, resolva a equação de Bernoulli dada.1. x . d y d x + y = 1 y 2
Nos problemas 1-6, resolva a equação de Bernoulli dada.6. 3 1 + x 2 . d y d x = 2 x y y 3 - 1
Nos problemas 7-10, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.9. x y 1 + x y 2 . d y d x = 1 , no qual y 1 = 0 .
Resolva x d y d x + 4 y = x 4 y 2 sujeito a y 1 = 1 .