Enunciado

Usando o método do Problema 17, transforme o problema

y ' ' + 2 y = 2 - 4 x ,     y 0 = 1 ,         y 1 + y ' 1 = - 2

em um novo problema no qual as condições de contorno são homogêneas. Resolva este último problema olhando o Exemplo 1 do texto.

Passo 1

No problema anterior, o 17, vimos que a equação em termos de u e v de y x = u x + v x se transformavava em:

u ' ' + p x u ' + q x u = - v ' ' + p x v ' + q x v

Mas essa equação era para esse tipo de EDO aqui:

y ' ' + p x y ' + q x y = 0

No nosso caso não é igual a 0 , então temos que adicionar o termo da não homogênea ali:

u ' ' + p x u ' + q x u = - v ' ' + p x v ' + q x v + 2 - 4 x

Além disso, o nosso p x = 0 e q x = 2 , então...

u ' ' + 2 u = - v ' ' + 2 v + 2 - 4 x

Passo 2

Temos que escolher a função v x agora de modo que as condições sobre u sejam homogêneas, ou seja:

u 0 = 0 ,         u 1 + u ' 1 = 0

Para isso acontecer, então v tem que ser de modo que...

v 0 = 1 ,         v 1 + v ' 1 = - 2

A função mais simples que isso acontece é:

v = 1 - 3 2 x

Repare que de fato v 0 = 1 e v 1 + v ' 1 = - 2 .

Então, dado que a segunda derivada desse v será 0 , a nossa nova EDO será...

u ' ' + 2 u = - v ' ' + 2 v + 2 - 4 x   →

u ' ' + 2 u = - 2 v + 2 - 4 x     →

u ' ' + 2 u = - 2 1 - 3 2 x + 2 - 4 x     →

u ' ' + 2 u = - x  

Com condições de contorno...

u 0 = 0 ,         u 1 + u ' 1 = 0

Passo 3

No Exemplo 1 resolvemos este mesmo problema, onde obtivemos a solução...

u = sin ⁡ 2 x sin ⁡ 2 + 2 cos ⁡ 2 - x 2

Como queremos obter a solução para a EDO de y e não a de u :

y ' ' + 2 y = 2 - 4 x

Podemos lembrar que:

y = u + v

Então...

y = sin ⁡ 2 x sin ⁡ 2 + 2 cos ⁡ 2 - x 2 + 1 - 3 2 x   →

y = sin ⁡ 2 x sin ⁡ 2 + 2 cos ⁡ 2 - 2 x + 1

Resposta

y = sin ⁡ 2 x sin ⁡ 2 + 2 cos ⁡ 2 - 2 x + 1

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