Enunciado

30. É possível mostrar que o problema de Sturm-Liouville

L y = - p x y ' ' + q x y = f x ,               ( i )

α 1 y 0 + α 2 y ' 0 = 0 ,                 β 1 1 + β 2 y ' 1 = 0             i i

tem uma solução em termos de uma função de Green

y = ϕ x = ∫ 0 1 G x ,   s f s d s                     i i i

Desde que λ = 0 não seja um autovalor de L y = λ y sujeita às condições de contorno i i . Além disso, G x ,   s é dada por

G x ,   s = - y 1 s y 2 x p x W y 1 ,   y 2 x ,               0 ≤ s ≤ x   - y 1 x y 2 s p x W y 1 ,   y 2 x ,               x ≤ s ≤ 1                     i v

em que y 1 é uma solução de L [ y ]   =   0 satisfazendo a condição de contorno em x   =   0 , y 2 é uma solução de L [ y ]   =   0 satisfazendo a condição de contorno em x   =   1 , e W ( y 1 ,   y 2 ) é o wronskiano de y 1 e y 2 .

(a) Verifique se a função de Green, obtida no Problema 28, é fornecida pela fórmula (iv).

(b) Verifique se a função de Green, obtida no Problema 29, é determinada pela fórmula (iv).

(c) Prove que p ( x ) W y 1 ,   y 2 ( x ) é uma constante, mostrando que sua derivada é nula.

(d) Usando a Eq. (iv) e o resultado do item (c), mostre que G ( x ,   s )   =   G ( s ,   x ) .

(e) Verifique se y   = ϕ ( x ) na Eq. (iii), com G ( x ,   s ) dada pela Eq. (iv), satisfaz a equação diferencial (i) e as condições de contorno (ii).

Passo 1

L e t r a   A :

No problema 28, trabalhamos com a equação diferencial:

- y ' ' = f x

Onde a solução de Green encontrada foi:

y = ϕ x = ∫ 0 1 G x ,   s f s d s

Onde provamos que G x ,   s é:

G x ,   s = s 1 - x ,           0 ≤ s ≤ x ,   x 1 - s ,           x ≤ s ≤ 1 ,

Para chegar nessa solução, forma usadas as condições iniciais:   y ( 0 )   =   0 , y ( 1 )   =   0

Passo 2

Aqui nesse problema, vemos que a equação i :

L y = - p x y ' ' + q x y = f x

Tem sua solução na equação i i i :

y = ϕ x = ∫ 0 1 G x ,   s f s d s

(que é a mesma equação de Green que chegamos no problema 28) onde G x ,   s é da forma como na equação i v :

G x ,   s = - y 1 s y 2 x p x W y 1 ,   y 2 x ,               0 ≤ s ≤ x   - y 1 x y 2 s p x W y 1 ,   y 2 x ,               x ≤ s ≤ 1

Passo 3

Comparando o problema 28 revisado no passo 1, com o problema a equação de Liouville, chegaremos que no nosso caso temos:

L y = - p x y ' ' + q x y = f x               →                             - y ' ' = f x

Ou seja:

p x = 1                   e                   q x = 0

Dessa forma simplificamos a nossa função G para:

G x ,   s = - y 1 s y 2 x W y 1 ,   y 2 x ,               0 ≤ s ≤ x   - y 1 x y 2 s W y 1 ,   y 2 x ,               x ≤ s ≤ 1

Agora quem são y 1 e y 2 do problema 28?

Passo 4

Bem, pelo enunciado da nossa questão...

y 1 é uma solução de L [ y ]   =   0 satisfazendo a condição de contorno em x   =   0 ”.

No nosso caso...

L y = 0             →             - y ' ' = 0

A solução dessa EDO de segunda ordem homogênea é:

y = c 1 + c 2 x

Logo, como a condição em x = 0 do nosso problema é:

y 0 =   0             →

y 0 = c 1 + 0     →

c 1 = 0

Ou seja, y 1 = c 2 x . Podemos escolher c 2 = 1 , por exemplo, já que o problema não foi muito específico.

Para o y 2 , do mesmo jeito, mas agora a solução deve satisfazer...

y ( 1 )   =   0

Que é a condição em 1 , saca? Então...

y 1 = c 1 + c 2 ⋅ 1         →

0 = c 1 + c 2

Como escolhemos c 1 = 1 ...

c 2 = - 1

E y 2 deve ser: y 2 = 1 - x

Passo 5

Beleza! Então chegamos às soluções:

y 1 = x

y 2 = 1 - x

Calculando o wronskiano delas:

W y 1 ,   y 2 = x 1 - x 1 - 1 =

- x - 1 + x =

- 1

Agora é só substituir, trocando o x por s onde tiver que trocar:

G x ,   s = - y 1 s y 2 x W y 1 ,   y 2 x ,               0 ≤ s ≤ x   - y 1 x y 2 s W y 1 ,   y 2 x ,               x ≤ s ≤ 1       →

G x ,   s = - s 1 - x - 1 ,               0 ≤ s ≤ x   - x 1 - s - 1 ,               x ≤ s ≤ 1   →

G x ,   s = s 1 - x ,               0 ≤ s ≤ x   x 1 - s ,               x ≤ s ≤ 1  

É exatamente o G x ,   s do problema 28 resumido no passo 1:

G x ,   s = s 1 - x ,           0 ≤ s ≤ x ,   x 1 - s ,           x ≤ s ≤ 1 ,

O que comprova que de fato o a função de Green obtida no exercício 28 satisfaz as condições do problema 30 .

Resposta

Questão de demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere o problema de valor de contorno L y = - p x y ' ' + q x y = μ r x y + f x a 1 y 0 + a 2 y ' 0 = 0 , b 1 y 1 + b 2 y ' 1 = 0 De acordo com o texto, a solução y = ϕ ( x ) é dada pela Eq. (13),
Nos problemas 24 e 25, use o método indicado no problema 23 para resolver os problemas de valores de contorno dado.25. u t = u x x - π 2 cos ⁡ π x u x 0 , t = 0 ,u 1 , t = 1 , u x , 0 = cos ⁡ 3 π x 2
Nos problemas 31 a 34, resolva o problema de valor de contorno dado determinando a função de Green apropriada a expanssando a solução como uma integral definida. Use as equações de (i) a (iv) do probl
Considere o problema de valores de contorno r x u t = p x u x x - q x u + F x u 0 , t = T 1 u 1 , t = T 2 u x , 0 = f x a) Seja v x uma solução do problema p x v ' ' - q x v = - F x ,v 0 = T 1 ,v 1 =
Neste problema, vamos explorar um pouco mais a analogia entre problemas de Sturm-Liouville de valores de contorno e matrizes auto adjuntas. Seja A uma mátria autoadjunta n × n com autovalores λ 1 , …