Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine o raio de convergência da série de potência dada.

8.

∑ n = 1 ∞ n ! x n n n

Passo 1

Fala galera!!

Queremos encontrar o raio de convergência da seguinte série de potências:

∑ n = 1 ∞ n ! x n n n

Para isso, vamos começar usando o teste da razão.

Passo 2

O teste diz o seguinte:

Se ∑ a n  é uma série positiva e

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

então:

(a) A série  ∑ a n é absolutamente convergente se L < 1 .

(b) A série  ∑ a n é divergente se L > 1 .

(c) O teste da relação é inconclusivo se L = 1 .

Passo 3

Temos que:

a n = n ! x n n n

Então:

a n + 1 = n + 1 ! x n + 1 n + 1 n + 1

Vamos aplicar agora o teste da razão. Assim temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! x n + 1 n + 1 n + 1 n ! x n n n

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! x n + 1 n + 1 n + 1 ⋅ n n n ! x n

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 ⋅ n ! ⋅ x ⋅ x n n n ⋅ 1 + 1 n n n + 1 ⋅ n n n ! x n

= lim n → ∞ ⁡ x 1 + 1 n n ⋅ 1 1

= x lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n n

= x 1 lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n

Agora você, assim como eu, deve estar se perguntando!! Para onde vai esse limite?

Vamos então resolver esse limite:

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n

Vamos aplicar

= exp ⁡ ln ⁡ lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n

= exp ⁡ lim n → ∞ ⁡ n ⋅ ln ⁡ 1 + 1 n

= exp ⁡ lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 1 n 1 / n  

Temos a indeterminação 0 / 0 , assim, aplicando L’hopital temos:

= exp ⁡ lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n ⋅ - 1 n 2 - 1 n 2  

= exp ⁡ lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n

= exp ⁡ 1

= e

Temos então que:

x 1 lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n = x 1 e

Ou seja:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = x 1 e

Passo 4

Assim, a série de potências converge absolutamente para x 1 e < 1 . Ou seja:

x 1 e < 1

x < e

- e < x < e

A série de potências diverge absolutamente para x > e

Portanto, o raio de convergência da série de potências é ρ = e .

Resposta

ρ = e

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