Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ n 4 n x + 1 n

Passo 1

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 4 n + 1 x + 1 n + 1 n 4 n x + 1 n = lim n → ∞ ⁡ ( x + 1 ) n ∙ x + 1 ∙ ( n + 1 ) 4 n ∙ 4 ∙ 4 n n ∙ x + 1 n

Resolvendo o limite acima, temos:

lim n → ∞ ⁡ ( x + 1 ) n ∙ x + 1 ∙ ( n + 1 ) 4 n ∙ 4 ∙ 4 n n ∙ x + 1 n = x + 1 4 ∙ lim n → ∞ ⁡ n + 1 n = x + 1 4

Passo 2

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para x + 1 4 < 1 , ou seja, para x + 1 < 4 . Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência R = 4 .

Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série convergirá para o intervalo em que x + 1 < 4 , ou seja, - 4 < x + 1 < 4 ↔ - 5 < x < 3 ....Portanto, convergirá para o intervalo ( - 5,3 ) em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( x = - 5 e x = 3 )? É o que vamos calcular agora.

Passo 3

Quando x = - 5 , ficamos com a série ∑ n = 0 ∞ - 1 n n , que, pelo Teste da Série Alternada, é uma série divergente.

Já para x = 3 , ficamos com a série ∑ n = 0 ∞ n , uma série divergente.

Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por I = ( - 5,3 ) .

Resposta

R = 4   e   I = ( - 5,3 )

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Uma função f é definida por f x = 1 + 2 x + x 2 + 2 x 3 + x 4 + … isto é, seus coeficientes são c 2 n = 1 e c 2 n + 1 = 2 para todo n ≥ 0 . Ache o intervalo de convergência e encontre uma fórmula expl
Mostre que, se l i m n → ∞| c n | n = c onde c ≠ 0 , então o raio de convergência da série de potências ∑ c n x n é R = 1 c .
Suponha que a série ∑ c n x n tenha raio de convergência 2 e que a série ∑ d n x n tenha raio de convergência 3 . O que você pode dizer sobre o raio de convergência da série ∑ ( c n + d n ) x n ? Expl