Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ n b n x - a n , b > 0

Passo 1

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 b n + 1 x - a n + 1 n b n x - a n = lim n → ∞ ⁡ ( x - a ) n ∙ x - a ∙ ( n + 1 ) b n ∙ b ∙ b n n ∙ x - a n

Resolvendo o limte acima, temos:

lim n → ∞ ⁡ ( x - a ) n ∙ x - a ∙ ( n + 1 ) b n ∙ b ∙ b n n ∙ x - a n = x - a b ∙ lim n → ∞ ⁡ n + 1 n = x - a b

Passo 2

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para x - a b < 1 , ou seja, para x - a < b . Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência R = b . Uma vez que sabemos que b > 0 , de fato este será o nosso raio de convergência!

Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série convergirá para o intervalo em que x - a < b , ou seja, - b < x - a < b ↔ a - b < x < a + b ....Portanto, convergirá para o intervalo ( a - b , a + b ) em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( x = a - b e x = a + b )? É o que vamos calcular agora.

Passo 3

Quando x = a - b , ficamos com a série ∑ n = 0 ∞ - 1 n n , uma série divergente.

Já para x = a + b , ficamos com a série ∑ n = 0 ∞ n , uma série também divergente.

Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por I = ( a - b , a + b ) .

Resposta

R = b   e   I = ( a - b , a + b )

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