Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ x n 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 )

Passo 1

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) ∙ ( 2 n + 1 ) x n 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) = lim n → ∞ ⁡ ( x ) n ∙ x ( 2 n + 1 ) ∙ 1 x n = x ∙ lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 1 = 0

Passo 2

Opa! Nosso limite deu zero para qualquer valor de x .

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para todo e qualquer x ∈ R . Nosso raio de convergência será então R = ∞ e nosso intervalo de convergência será I = ( - ∞ , ∞ )

Resposta

R = ∞   e   I = ( - ∞ , ∞ )

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