Enunciado

Em cada um dos problemas de 6 a 9, encontre os coeficientes da expansão em autofunções da função dada, usando as autofunções normalizadas do Problema 1.

f x = 1 ,     0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Para esse exercício nós devemos utilizar a autofunção encontrada no exercício 1 que foi:

ϕ n = 2 s in ⁡ λ x

Onde λ = 2 n - 1 π 2     para n = 1,2 , …  

Porém o enunciado está o mesmo que na questão anterior 😊 que beleza né? Nessa questão era para termos:

f x = x .   0 ≤ x ≤ 1

Pois somente com essa função que teríamos o gabarito correto.

Então o termo a n será:

a n = ∫ 0 1 f x ϕ n x d x

Então:

a n = ∫ 0 1 2 x s in ⁡ λ x   d x

Onde ∫ x s i n n x d x = - 1 n x cos ⁡ n x + 1 n 2 s i n ⁡ ( n x )

Então:

a n = 2 - 1 n x cos ⁡ n x + 1 n 2 sin ⁡ n x 0 1

Fazendo n = λ .

a n = 2 - 1 n cos ⁡ n + 1 n 2 sin ⁡ n

Ou:

a n = 2 - 1 n λ cos ⁡ λ + 1 λ sin ⁡ λ

Só que como vemos na questão 1 nós temos que

cos ⁡ λ = 0  

Então:

a n = 2 λ s i n ⁡ λ

Passo 2

Como λ = 2 n - 1 π 2     para n = 1,2 , … , então:

a n = 2 λ s i n ⁡ 2 n - 1 π 2  

Essa equação nos diz que teremos termos de a n em sin ⁡ π 2 , sin ⁡ 3 π 2 , sin ⁡ 5 π 2 , …  

Ou seja nós teremos uma sequência por parte do seno igual a 1 , - 1,1 , - 1 , … então nós teremos uma parte igual a - 1 n + 1 , mudando nossa a n para:

a n = 2 2 n - 1 π 2 2 2 - 1 n + 1

Substituindo o valor de λ = 2 n - 1 π 2 2

a n = 4 2   - 1 n + 1 2 n - 1 2 π 2

O valor de n continua sendo de 1,2   a t é   ∞

Resposta

a n = 4 2   - 1 n + 1 2 n - 1 2 π 2

para n = 1,2 , …

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