Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 5 , determine as autofunções normalizadas do problema dado

y ' ' - 2 y ' + 1 + λ y = 0 ,       y 0 = 0 ,       y 1 = 0 ;   v e j a   a   S e ç ã o   11.1 ,   P r o b l e m a   17

Passo 1

Como vimos na solução 17 da seção 1 a solução dessa E D O é dada por:

y = e x c 1 s e n   λ x + c 2 cos ⁡ λ x

Com derivada em x igual a:

y ' = λ e x c 1 cos ⁡ λ x - c 2 s e n λ x

E se aplicarmos as condições de contorno nós encontramos:

c 2 = 0

E

e c 1 s e n λ x = 0

E como seno só pode ser zero em 0 , π , 2 π , … então λ = n π

E a autofunção para essa solução é:

ϕ n = k n e x s e n λ x

(uma vez que c 2 = 0 e dizemos que c 1 não pode ser zero para não termos a solução trivial)

Passo 2

Então o valor de k n sabendo que a função tem peso 1 será de:

k n 2 ∫ 0 1 e 2 x   s e n 2 λ x d x = 1  

E s e n 2 x = 1 2 - c o s ⁡ ( 2 x ) 2 , então:

k n 2 ∫ 0 1 e 2 x 2 - e 2 x cos ⁡ 2 λ x 2 d x = 1

k n 2 2 ∫ 0 1 ( e 2 x - e 2 x cos ⁡ 2 λ x )   d x = 1

Fazendo a integração por partes de e x cos ⁡ 2 λ x nós teremos:

2 λ e 2 x sin ⁡ 2 λ x + 2 e 2 x c o s ⁡ ( 2 λ x ) 4 λ + 4

Sem contar que o resultado da integral de e 2 x será 1 2 e 2 x nos dando algo como:

k n 2 2 e 2 x 2 - 2 λ e 2 x sin ⁡ 2 λ x - 2 e 2 x cos ⁡ 2 λ x 4 λ + 4 0 1 = 1

k n 2 2 e 2 - 1 2 - 2 λ e 2 sin ⁡ 2 λ - 2 e 2 cos ⁡ 2 λ 4 λ + 1 + + 2 4 ( λ + 1 ) = 1

Onde s i n ⁡ ( 2 π n ) é sempre zero e c o s ⁡ ( 2 π n ) é sempre um. Para n inteiro e positivo.

k n 2 2 e 2 - 1 2 - 0 - 2 e 2 4 λ + 1 + 2 4 ( λ + 1 ) = 1

k n 2 2 e 2 - 1 2 + - 2 ( e 2 - 1 ) 4 λ + 1 = 1

k n 2 2 2 ( e 2 - 1 ) ( λ + 1 ) 4 ( λ + 1 ) + - 2 e 2 + 2 4 λ + 1 = 1

k n 2 2 2 e 2 - 1 λ + 1 - 2 ( e 2 - 1 ) 4 λ + 1 = 1

k n 2 2 2 e 2 - 1 [ λ + 1 - 1 ] 4 λ + 1 = 1

k n 2 2 e 2 - 1 [ λ ] 2 λ + 1 = 1

Dessa forma:

k n = 4 λ + 1 λ e 2 - 1

Então a autofunção fica:

ϕ n = 4 λ + 1 λ e 2 - 1 e x s e n λ x

Resposta

ϕ n = 4 λ + 1 λ e 2 - 1 e x s e n λ x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada uma das condições de contorno a seguir, encontre o menor autovalor (a força de deformação) de y ^(4) + λy′′ = 0 e encontre também a autofunção associada (a forma da coluna deformada).
Um rastreador não reativo em uma concentração c0 está sendo continuamente introduzido em um fluxo regular na extremidade rio acima de uma coluna de comprimento L cheia de um meio granular homogêneo. S
Considere o problema de Sturm-Liouvilleem que p, q e r satisfazem as condições enunciadas no texto.Mostre que, se q(x) ≥ 0 e, se β1/β2 e – α1/α2 não forem negativos, então o autovalor λ será maior do
Considere o problema de Sturm-Liouvilleem que p, q e r satisfazem as condições enunciadas no texto.Mostre que, se λ for um autovalor e se φ for uma autofunção associada, entãodesde que α2 ≠ 0 e β2 ≠ 0
Substâncias dissolvidas em um aquífero são transportadas por dois mecanismos separados. O processo pelo qual um soluto é transportado pelo grande movimento do fluxo da água subterrânea é chamado de ad