Enunciado

Em cada um dos problemas de 6 a 9, encontre os coeficientes da expansão em autofunções da função dada, usando as autofunções normalizadas do Problema 1.

f x = 1 ,     0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

O termo a n é encontrado pela integral

a n = ∫ 0 1 f x ϕ n x d x

Podemos ver pelo exemplo 3 desse livro, ele só coloca como c n mas no fundo é a mesma coisa.

Onde ϕ n = 2 sin ⁡ λ x do problema 1, onde λ = ( 2 n - 1 ) π 2 então:

a n = 2 ∫ 0 1 1 ⋅ sin ⁡ λ x d x

Fazendo então a integral nós teremos:

a n = 2 - cos ⁡ λ x λ 0 1

a n = 2 λ - cos ⁡ λ + 1

Em termos de n teremos:

a n = 2 2 ( 2 n - 1 ) π - cos ⁡ ( 2 n - 1 ) π 2 + 1

Só que a parcela cos ⁡ ( 2 n - 1 ) π 2 sempre será zero, pois n = 1,2 , 3 , … , nos dando cos ⁡ π 2 = cos ⁡ 3 π 2 = … = 0 . Logo a n será igual a:

a n = 2 2 ( 2 n - 1 ) π ; n - 1,2 , …

Resposta

a n = 2 2 ( 2 n - 1 ) π ; n - 1,2 , …

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