Enunciado

Considere o problema de valores de contorno.

Mostre que λ0 = 0 é um autovalor desse problema com autofunção associada φ0(x) = 1. Se λ> 0, mostre, formalmente, que as autofunções são dadas por . É possível

mostrar que existe uma sequência infinita de tais raízes.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada.

- x y ' ' = λ x y

y x = C 1 J o λ x + C 2 Y o λ x

Usando a definição das condições de contorno, tiramos:

C 1 = 1

C 2 =   0

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

λ = 0  

ϕ x = J o 0 = 1

ϕ n x = J o λ n x

Resposta

ϕ n x = J o λ n x

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